Решите системы уравнений: 1. а) \(\begin{cases} a+b=7 \\ 6a-3b=11 \end{cases}\) 6) \(\begin{cases} 2x-y=3 \\ 3x-y=5 \end{cases}\) 2. За 1 булку и 4 бублика заплатили 68 коп., а за 2 булки и 3 бублика — 76 коп. Найдите цену булки и цену бублика. 3. Прямая y = kx + b проходит через точки А и В. Найдите числа k и b и запишите уравнение этой прямой, если А(2; -5), B(0; 1). 4. Найдите значения а и b, при которых решением системы уравнений является пара х = 1, y = 1: \(\begin{cases} 3x + ay = 5 \\ 7x - by = 6 \end{cases}\)

Решение:

1. а) Решение системы уравнений:

\(\begin{cases} a+b=7 \\ 6a-3b=11 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 3:

\(\begin{cases} 3a+3b=21 \\ 6a-3b=11 \end{cases}\)

Сложим уравнения:

\(3a+6a+3b-3b = 21+11 \)

\(9a = 32 \Rightarrow a = \frac{32}{9} \)

Подставим \(a\) в первое уравнение:

\(\frac{32}{9} + b = 7 \Rightarrow b = 7 - \frac{32}{9} = \frac{63-32}{9} = \frac{31}{9} \)

Ответ: \( a = \frac{32}{9}, b = \frac{31}{9} \).

1. б) Решение системы уравнений:

\(\begin{cases} 2x-y=3 \\ 3x-y=5 \end{cases}\)

Вычтем первое уравнение из второго:

\((3x-y) - (2x-y) = 5 - 3 \)

\(3x - y - 2x + y = 2 \Rightarrow x = 2 \)

Подставим \(x = 2\) в первое уравнение:

\(2(2) - y = 3 \Rightarrow 4 - y = 3 \Rightarrow y = 4 - 3 = 1 \)

Ответ: \( x = 2, y = 1 \).

2. Решение задачи о булках и бубликах:

Пусть \(x\) — цена булки (в коп.), а \(y\) — цена бублика (в коп.).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} x + 4y = 68 \\ 2x + 3y = 76 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 2:

\(\begin{cases} 2x + 8y = 136 \\ 2x + 3y = 76 \end{cases}\)

Вычтем второе уравнение из первого:

\((2x + 8y) - (2x + 3y) = 136 - 76 \)

\(5y = 60
igh arrow y = 12 \)

Подставим \(y = 12\) в первое уравнение:

\(x + 4(12) = 68 \Rightarrow x + 48 = 68 \Rightarrow x = 20 \)

Ответ: Цена булки — 20 коп., цена бублика — 12 коп.

3. Нахождение уравнения прямой:

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим координаты точки А(2; -5):

\(-5 = k(2) + b
igh arrow 2k + b = -5 \)

Подставим координаты точки В(0; 1):

\(1 = k(0) + b
igh arrow b = 1 \)

Подставим \(b = 1\) в первое уравнение:

\(2k + 1 = -5 \Rightarrow 2k = -6 \Rightarrow k = -3 \)

Уравнение прямой: \( y = -3x + 1 \).

Ответ: \( y = -3x + 1 \).

4. Нахождение значений а и b:

Подставим \(x = 1\) и \(y = 1\) в систему уравнений:

\(\begin{cases} 3(1) + a(1) = 5 \\ 7(1) - b(1) = 6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3 + a = 5 \\ 7 - b = 6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} a = 5 - 3 \\ b = 7 - 6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} a = 2 \\ b = 1 \end{cases}\)

Ответ: \( a = 2, b = 1 \).