704. Решите систему уравнений: 6) x + y = 2,5, xy = 1,5; г) x-y = 2, x²- y² = 17.

Решение 704

б) \(\begin{cases} x + y = 2.5 \\ xy = 1.5 \end{cases}\)

Выразим x через y из первого уравнения: \(x = 2.5 - y\)

Подставим во второе уравнение: \((2.5 - y)y = 1.5\)

\(2.5y - y^2 = 1.5\)

\(y^2 - 2.5y + 1.5 = 0\)

Умножим на 2: \(2y^2 - 5y + 3 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:

\(D = (-5)^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1\)

\(y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{5 + 1}{4} = 1.5\)

\(y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{5 - 1}{4} = 1\)

Теперь найдем x:

\(x_1 = 2.5 - y_1 = 2.5 - 1.5 = 1\)

\(x_2 = 2.5 - y_2 = 2.5 - 1 = 1.5\)

г) \(\begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 - y^2 = 17 \end{cases}\)

Разложим второе уравнение как разность квадратов:

\((x - y)(x + y) = 17\)

Подставим первое уравнение: \(2(x + y) = 17\)

\(x + y = \frac{17}{2} = 8.5\)

Теперь у нас есть система:

\(\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 8.5 \end{cases}\)

Сложим уравнения:

\(2x = 10.5\)

\(x = \frac{10.5}{2} = 5.25\)

Теперь найдем y:

\(y = 8.5 - x = 8.5 - 5.25 = 3.25\)