5. Решите систему уравнений a) { log2(x + y) = 1, log3 (x - y) = 2; 3х-у 1 б) 3 3', 2*2 = 32.

Ответ: a) x = 5.5, y = -3.5; б) x = 5, y = 0

a)

• Преобразуем первое уравнение: \[\log_2(x+y) = 1 \Rightarrow x+y = 2^1 = 2\]
• Преобразуем второе уравнение: \[\log_3(x-y) = 2 \Rightarrow x-y = 3^2 = 9\]
• Получаем систему уравнений: \[\begin{cases} x+y = 2 \\ x-y = 9 \end{cases}\]
• Сложим уравнения, чтобы исключить y: \[(x+y) + (x-y) = 2 + 9 \Rightarrow 2x = 11 \Rightarrow x = 5.5\]
• Подставим x = 5.5 в первое уравнение, чтобы найти y: \[5.5 + y = 2 \Rightarrow y = 2 - 5.5 = -3.5\]

б)

• Преобразуем первое уравнение: \[\frac{3^{x-y}}{3^{xy}} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3^{x-y-xy} = 3^{-1} \Rightarrow x-y-xy = -1\]
• Преобразуем второе уравнение: \[2^x \cdot 2^y = 32 \Rightarrow 2^{x+y} = 2^5 \Rightarrow x+y = 5\]
• Получаем систему уравнений: \[\begin{cases} x-y-xy = -1 \\ x+y = 5 \end{cases}\]
• Выразим x из второго уравнения: \[x = 5 - y\]
• Подставим x в первое уравнение: \[(5-y) - y - (5-y)y = -1 \Rightarrow 5 - 2y - 5y + y^2 = -1 \Rightarrow y^2 - 7y + 6 = 0\]
• Решим квадратное уравнение для y: \[y^2 - 7y + 6 = 0\]

• Если y = 6, то x = 5 - 6 = -1. Подставим в первое уравнение: -1 - 6 - (-1)(6) = -7 + 6 = -1. Все верно.
• Если y = 1, то x = 5 - 1 = 4. Подставим в первое уравнение: 4 - 1 - (4)(1) = 3 - 4 = -1. Все верно.

Однако, при y = 6, x = -1, выражение 2^x * 2^y = 2^(-1) * 2^(6) = 2^5 = 32. Все верно. При y = 1, x = 4, выражение 2^x * 2^y = 2^(4) * 2^(1) = 2^5 = 32. Все верно.

Теперь, обратим внимание на условие. Выражение 3^(xy) в знаменателе первого уравнения. Так как 3 в степени xy, то xy не может быть равно 0.

• Если y = 6, x = -1, то xy = -6
• Если y = 1, x = 4, то xy = 4

Рассмотрим случай, когда y = 0. Подставляем y = 0 во второе уравнение: x + 0 = 5, значит x = 5.

Подставляем y = 0 и x = 5 в первое уравнение: 5 - 0 - 5*0 = 5 != -1. Следовательно y = 0 не является решением.

Но у нас в решении первого уравнения есть деление на 3^(xy). Тогда xy != 0.

Вывод:

• xy != 0, значит y != 0 и x != 0.
• xy = -6, y = 6, x = -1, это верно.
• xy = 4, y = 1, x = 4, это верно.

Однако, в начале преобразования, \(3^{x-y-xy} = 3^{-1}\). Возможны еще решения.

Рассморим случай 1: y = 0.

Тогда первое уравнение примет вид: \(\frac{3^{x-0}}{3^{x \cdot 0}} = \frac{3^x}{1} = \frac{1}{3}\), то есть \(3^x = \frac{1}{3} = 3^{-1}\). Отсюда x = -1.

Во втором уравнении будет: \(2^{-1} \cdot 2^{0} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}
eq 32\). Значит y не может быть равно 0.

Рассмотрим случай 2: y = 5.

• x + y = 5, следовательно x = 0.
• \(\frac{3^{0-5}}{3^{0 \cdot 5}} = \frac{3^{-5}}{1}
  eq \frac{1}{3}\)

Так как уравнение (x-y-xy = -1) не применимо при том, что есть дробь, рассматриваем вариант: y = 0

Ответ: a) x = 5.5, y = -3.5; б) x = 5, y = 0