33. Решите систему уравнений: а) $$\begin{cases} y - 2x = 2, \\ 5x^2 - y = -1; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} x - 2y^2 = -2, \\ 3x + y = 7; \end{cases}$$ в) $$\begin{cases} x^2 - 3y^2 = 52, \\ y - x = 14; \end{cases}$$

Решение: а) $$\begin{cases} y - 2x = 2, \\ 5x^2 - y = -1; \end{cases}$$ Выразим $$y$$ из первого уравнения: $$y = 2x + 2$$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$5x^2 - (2x + 2) = -1$$ $$5x^2 - 2x - 2 = -1$$ $$5x^2 - 2x - 1 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 4 + 20 = 24$$ Найдем корни: $$x_1 = \frac{2 + \sqrt{24}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 2\sqrt{6}}{10} = \frac{1 + \sqrt{6}}{5}$$ $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{24}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 2\sqrt{6}}{10} = \frac{1 - \sqrt{6}}{5}$$ Найдем соответствующие значения $$y$$: $$y_1 = 2x_1 + 2 = 2 \cdot \frac{1 + \sqrt{6}}{5} + 2 = \frac{2 + 2\sqrt{6} + 10}{5} = \frac{12 + 2\sqrt{6}}{5}$$ $$y_2 = 2x_2 + 2 = 2 \cdot \frac{1 - \sqrt{6}}{5} + 2 = \frac{2 - 2\sqrt{6} + 10}{5} = \frac{12 - 2\sqrt{6}}{5}$$ Ответ: $$\left( \frac{1 + \sqrt{6}}{5}; \frac{12 + 2\sqrt{6}}{5} \right), \left( \frac{1 - \sqrt{6}}{5}; \frac{12 - 2\sqrt{6}}{5} \right)$$ б) $$\begin{cases} x - 2y^2 = -2, \\ 3x + y = 7; \end{cases}$$ Выразим $$y$$ из второго уравнения: $$y = 7 - 3x$$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$x - 2(7 - 3x)^2 = -2$$ $$x - 2(49 - 42x + 9x^2) = -2$$ $$x - 98 + 84x - 18x^2 = -2$$ $$-18x^2 + 85x - 96 = 0$$ $$18x^2 - 85x + 96 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-85)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 96 = 7225 - 6912 = 313$$ Найдем корни: $$x_1 = \frac{85 + \sqrt{313}}{2 \cdot 18} = \frac{85 + \sqrt{313}}{36}$$ $$x_2 = \frac{85 - \sqrt{313}}{2 \cdot 18} = \frac{85 - \sqrt{313}}{36}$$ Найдем соответствующие значения $$y$$: $$y_1 = 7 - 3x_1 = 7 - 3 \cdot \frac{85 + \sqrt{313}}{36} = 7 - \frac{85 + \sqrt{313}}{12} = \frac{84 - 85 - \sqrt{313}}{12} = \frac{-1 - \sqrt{313}}{12}$$ $$y_2 = 7 - 3x_2 = 7 - 3 \cdot \frac{85 - \sqrt{313}}{36} = 7 - \frac{85 - \sqrt{313}}{12} = \frac{84 - 85 + \sqrt{313}}{12} = \frac{-1 + \sqrt{313}}{12}$$ Ответ: $$\left( \frac{85 + \sqrt{313}}{36}; \frac{-1 - \sqrt{313}}{12} \right), \left( \frac{85 - \sqrt{313}}{36}; \frac{-1 + \sqrt{313}}{12} \right)$$ в) $$\begin{cases} x^2 - 3y^2 = 52, \\ y - x = 14; \end{cases}$$ Выразим $$y$$ из второго уравнения: $$y = x + 14$$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$x^2 - 3(x + 14)^2 = 52$$ $$x^2 - 3(x^2 + 28x + 196) = 52$$ $$x^2 - 3x^2 - 84x - 588 = 52$$ $$-2x^2 - 84x - 640 = 0$$ $$x^2 + 42x + 320 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot 320 = 1764 - 1280 = 484$$ Найдем корни: $$x_1 = \frac{-42 + \sqrt{484}}{2} = \frac{-42 + 22}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$ $$x_2 = \frac{-42 - \sqrt{484}}{2} = \frac{-42 - 22}{2} = \frac{-64}{2} = -32$$ Найдем соответствующие значения $$y$$: $$y_1 = x_1 + 14 = -10 + 14 = 4$$ $$y_2 = x_2 + 14 = -32 + 14 = -18$$ Ответ: $$(-10; 4), (-32; -18)$$