Решите систему уравнений методом замены переменных: {x + y + x/y = 15, x(x+y)/y = 56.

Решим систему уравнений методом замены переменных:

$$\begin{cases} x + y + \frac{x}{y} = 15 \\ \frac{x(x+y)}{y} = 56 \end{cases}$$

Введем новые переменные: $$a = x + y$$, $$b = \frac{x}{y}$$. Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} a + b = 15 \\ ab \cdot \frac{x}{x} = 56 \end{cases}$$

$$\begin{cases} a + b = 15 \\ ab = 56 \end{cases}$$

Выразим $$a$$ из первого уравнения: $$a = 15 - b$$. Подставим во второе уравнение:

$$(15 - b)b = 56$$

$$15b - b^2 = 56$$

$$b^2 - 15b + 56 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$b$$:

$$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1$$

$$b_1 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2} = \frac{15 + 1}{2} = 8$$

$$b_2 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2} = \frac{15 - 1}{2} = 7$$

Теперь найдем соответствующие значения $$a$$:

Если $$b = 8$$, то $$a = 15 - 8 = 7$$

Если $$b = 7$$, то $$a = 15 - 7 = 8$$

Вернемся к исходным переменным:

$$\begin{cases} x + y = a \\ \frac{x}{y} = b \end{cases}$$

Случай 1: $$a = 7$$, $$b = 8$$

$$\begin{cases} x + y = 7 \\ \frac{x}{y} = 8 \end{cases}$$

$$x = 8y$$

$$8y + y = 7$$

$$9y = 7$$

$$y = \frac{7}{9}$$

$$x = 8 \cdot \frac{7}{9} = \frac{56}{9}$$

Случай 2: $$a = 8$$, $$b = 7$$

$$\begin{cases} x + y = 8 \\ \frac{x}{y} = 7 \end{cases}$$

$$x = 7y$$

$$7y + y = 8$$

$$8y = 8$$

$$y = 1$$

$$x = 7 \cdot 1 = 7$$

Ответ: $$(7; 1), (\frac{56}{9}; \frac{7}{9})$$