392. Решите систему уравнений, используя способ сложения: a) $$\begin{cases}x^2 - 2y^2 = 14,\\x^2 + 2y^2 = 18;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}x^2 + y^2 = 61,\\x^2 - y^2 = 11;\end{cases}$$ в) $$\begin{cases}xy + x = 56,\\xy + y = 54.\end{cases}$$

Рассмотрим решение каждой системы уравнений по отдельности. а) $$\begin{cases}x^2 - 2y^2 = 14,\\x^2 + 2y^2 = 18;\end{cases}$$ Сложим два уравнения: $$(x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = 14 + 18$$ $$2x^2 = 32$$ $$x^2 = 16$$ $$x = \pm 4$$ Теперь найдем значения $$y$$ для каждого значения $$x$$: Для $$x = 4$$: $$4^2 + 2y^2 = 18$$ $$16 + 2y^2 = 18$$ $$2y^2 = 2$$ $$y^2 = 1$$ $$y = \pm 1$$ Для $$x = -4$$: $$(-4)^2 + 2y^2 = 18$$ $$16 + 2y^2 = 18$$ $$2y^2 = 2$$ $$y^2 = 1$$ $$y = \pm 1$$ Таким образом, решения системы: $$(4, 1), (4, -1), (-4, 1), (-4, -1)$$ б) $$\begin{cases}x^2 + y^2 = 61,\\x^2 - y^2 = 11;\end{cases}$$ Сложим два уравнения: $$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 61 + 11$$ $$2x^2 = 72$$ $$x^2 = 36$$ $$x = \pm 6$$ Теперь найдем значения $$y$$ для каждого значения $$x$$: Для $$x = 6$$: $$6^2 + y^2 = 61$$ $$36 + y^2 = 61$$ $$y^2 = 25$$ $$y = \pm 5$$ Для $$x = -6$$: $$(-6)^2 + y^2 = 61$$ $$36 + y^2 = 61$$ $$y^2 = 25$$ $$y = \pm 5$$ Таким образом, решения системы: $$(6, 5), (6, -5), (-6, 5), (-6, -5)$$ в) $$\begin{cases}xy + x = 56,\\xy + y = 54.\end{cases}$$ Вычтем из первого уравнения второе: $$(xy + x) - (xy + y) = 56 - 54$$ $$x - y = 2$$ $$x = y + 2$$ Подставим $$x$$ в первое уравнение: $$(y + 2)y + (y + 2) = 56$$ $$y^2 + 2y + y + 2 = 56$$ $$y^2 + 3y - 54 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно $$y$$: $$D = 3^2 - 4(1)(-54) = 9 + 216 = 225$$ $$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$ Теперь найдем значения $$x$$ для каждого значения $$y$$: Для $$y = 6$$: $$x = 6 + 2 = 8$$ Для $$y = -9$$: $$x = -9 + 2 = -7$$ Таким образом, решения системы: $$(8, 6), (-7, -9)$$ Ответ: а) (4, 1), (4, -1), (-4, 1), (-4, -1) б) (6, 5), (6, -5), (-6, 5), (-6, -5) в) (8, 6), (-7, -9)