Решите систему уравнений: \(\frac{2x - y}{6} + \frac{2x + y}{9} = 3,\) \(\frac{x + y}{3} - \frac{x - y}{4} = 4.\)

Решение:

Для решения данной системы уравнений, сначала упростим каждое уравнение. Умножим первое уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 9, то есть на 18. Умножим второе уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12.

Первое уравнение:

\( 18 \left( \frac{2x - y}{6} + \frac{2x + y}{9} \right) = 18 \cdot 3 \)

\( 3(2x - y) + 2(2x + y) = 54 \)

\( 6x - 3y + 4x + 2y = 54 \)

\( 10x - y = 54 \)

Второе уравнение:

\( 12 \left( \frac{x + y}{3} - \frac{x - y}{4} \right) = 12 \cdot 4 \)

\( 4(x + y) - 3(x - y) = 48 \)

\( 4x + 4y - 3x + 3y = 48 \)

\( x + 7y = 48 \)

Теперь у нас есть новая, упрощенная система уравнений:

1) \( 10x - y = 54 \)

2) \( x + 7y = 48 \)

Из первого уравнения выразим y:

\( y = 10x - 54 \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( x + 7(10x - 54) = 48 \)

\( x + 70x - 378 = 48 \)

\( 71x = 48 + 378 \)

\( 71x = 426 \)

\( x = \frac{426}{71} \)

\( x = 6 \)

Теперь найдем y, подставив значение x в выражение для y:

\( y = 10x - 54 = 10(6) - 54 = 60 - 54 \)

\( y = 6 \)

Проверим полученные значения в исходных уравнениях.

Первое уравнение: \( \frac{2(6) - 6}{6} + \frac{2(6) + 6}{9} = \frac{12 - 6}{6} + \frac{12 + 6}{9} = \frac{6}{6} + \frac{18}{9} = 1 + 2 = 3 \). Верно.

Второе уравнение: \( \frac{6 + 6}{3} - \frac{6 - 6}{4} = \frac{12}{3} - \frac{0}{4} = 4 - 0 = 4 \). Верно.

Ответ: x = 6, y = 6.