Решите систему уравнений {\(\frac{2x+3y}{4}\) + \(\frac{3x-2y}{5}\) = \(\frac{23}{20}\), \(\frac{3x+4y}{2}\) + \(\frac{5x-y}{3}\) = \(\frac{22}{3}\)}

Решение системы уравнений:

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} \frac{2x+3y}{4} + \frac{3x-2y}{5} = \frac{23}{20} \\ \frac{3x+4y}{2} + \frac{5x-y}{3} = \frac{22}{3} \end{cases} \]

Упростим первое уравнение, умножив обе части на общий знаменатель 20:

\[ 20 \cdot \left( \frac{2x+3y}{4} + \frac{3x-2y}{5} \right) = 20 \cdot \frac{23}{20} \]

\[ 5(2x+3y) + 4(3x-2y) = 23 \]

\[ 10x + 15y + 12x - 8y = 23 \]

\[ 22x + 7y = 23 \quad (1) \]

Упростим второе уравнение, умножив обе части на общий знаменатель 6:

\[ 6 \cdot \left( \frac{3x+4y}{2} + \frac{5x-y}{3} \right) = 6 \cdot \frac{22}{3} \]

\[ 3(3x+4y) + 2(5x-y) = 2 + 22 \]

\[ 9x + 12y + 10x - 2y = 44 \]

\[ 19x + 10y = 44 \quad (2) \]

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

\[ \begin{cases} 22x + 7y = 23 \\ 19x + 10y = 44 \end{cases} \]

Умножим первое уравнение на 10, а второе на 7, чтобы исключить переменную \( y \):

\[ 10(22x + 7y) = 10 + 23 \implies 220x + 70y = 230 \quad (3) \]

\[ 7(19x + 10y) = 7 + 44 \implies 133x + 70y = 308 \quad (4) \]

Вычтем уравнение (4) из уравнения (3):

\[ (220x + 70y) - (133x + 70y) = 230 - 308 \]

\[ 220x - 133x = -78 \]

\[ 87x = -78 \]

\[ x = \frac{-78}{87} \]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

\[ x = \frac{-26}{29} \]

Теперь подставим значение \( x \) в уравнение (1) для нахождения \( y \):

\[ 22 \left( \frac{-26}{29} \right) + 7y = 23 \]

\[ \frac{-572}{29} + 7y = 23 \]

\[ 7y = 23 + \frac{572}{29} \]

\[ 7y = \frac{23 + 29 + 572}{29} \]

\[ 7y = \frac{667 + 572}{29} \]

\[ 7y = \frac{1239}{29} \]

\[ y = \frac{1239}{29 + 7} \]

\[ y = \frac{1239}{203} \]

Проверим, делится ли 1239 на 7. \( 1239 / 7 = 177 \). Так как 203 = 29 * 7, то y = 177/29. Однако 1239 делится на 7, а 203 делится на 7. 1239 / 7 = 177. 203 / 7 = 29. Поэтому y = 177/29.

Проверим вычисление 1239/7: 1239 = 700 + 539; 539 = 490 + 49. 1239 / 7 = 100 + 70 + 7 = 177.

Так, y = 177/29.

Ответ: \( x = \frac{-26}{29}, y = \frac{177}{29} \).