Решите систему уравнений: \(\begin{cases} \frac{x-2}{4} + \frac{y-2}{4} = 2 \\ \frac{x-2}{3} - \frac{y-2}{9} = \frac{4}{3} \end{cases}\)

Решение:

Данная система уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{x-2}{4} + \frac{y-2}{4} = 2 \\
\frac{x-2}{3} - \frac{y-2}{9} = \frac{4}{3}
\end{cases}
\]

Упростим первое уравнение, умножив обе части на 4:

\[
x-2 + y-2 = 8 \]\[
x + y = 12 \]

Упростим второе уравнение, умножив обе части на 9:

\[
3(x-2) - (y-2) = 9 \cdot \frac{4}{3} \]\[
3x - 6 - y + 2 = 12 \]\[
3x - y = 16 \]

Теперь у нас есть новая система уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y = 12 \\
3x - y = 16
\end{cases}
\]

Сложим оба уравнения, чтобы исключить \( y \):

\[
(x + y) + (3x - y) = 12 + 16 \]\[
4x = 28 \]\[
x = 7 \]

Подставим значение \( x=7 \) в первое уравнение \( x+y=12 \):

\[
7 + y = 12 \]\[
y = 12 - 7 \]\[
y = 5 \]

Проверим полученные значения в исходных уравнениях:

Первое уравнение: \( \frac{7-2}{4} + \frac{5-2}{4} = \frac{5}{4} + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \). Верно.

Второе уравнение: \( \frac{7-2}{3} - \frac{5-2}{9} = \frac{5}{3} - \frac{3}{9} = \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \). Верно.

Ответ: x = 7, y = 5.