Решите систему уравнений: 6x^2 - 11x = y, 6x - 11 = y.

Решение:

Данная система уравнений состоит из двух уравнений:

1) \( 6x^2 - 11x = y \)

2) \( 6x - 11 = y \)

Так как правые части обоих уравнений равны \( y \), мы можем приравнять левые части:

\[ 6x^2 - 11x = 6x - 11 \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 6x^2 - 11x - 6x + 11 = 0 \]

\[ 6x^2 - 17x + 11 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Здесь \( a = 6 \), \( b = -17 \), \( c = 11 \).

\[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 11 = 289 - 264 = 25 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{17 + 5}{12} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{17 - 5}{12} = \frac{12}{12} = 1 \]

Теперь найдём соответствующие значения \( y \) для каждого значения \( x \), используя второе уравнение \( y = 6x - 11 \) (оно проще):

Для \( x_1 = \frac{11}{6} \):

\[ y_1 = 6 \cdot \frac{11}{6} - 11 = 11 - 11 = 0 \]

Для \( x_2 = 1 \):

\[ y_2 = 6 \cdot 1 - 11 = 6 - 11 = -5 \]

Таким образом, система имеет два решения:

1) \( x = \frac{11}{6}, y = 0 \)

2) \( x = 1, y = -5 \)

Ответ: \( \left( \frac{11}{6}; 0 \right); (1; -5) \).