5. Решите систему уравнений 1 1 1 { - = -' y x 12 2x - y = 18.

Ответ: x = 6, y = -6

1. Выразим y из второго уравнения:

\[2x - y = 18 \Rightarrow y = 2x - 18\]

2. Подставим полученное выражение для y в первое уравнение:

\[\frac{1}{x} - \frac{1}{2x - 18} = \frac{1}{12}\]

3. Решим полученное уравнение относительно x. Для начала умножим обе части уравнения на 12x(2x - 18), чтобы избавиться от дробей:

\[12(2x - 18) - 12x = x(2x - 18)\]\[24x - 216 - 12x = 2x^2 - 18x\]\[2x^2 - 18x - 12x - 24x + 216 = 0\]\[2x^2 - 54x + 216 = 0\]

4. Разделим уравнение на 2:

\[x^2 - 27x + 108 = 0\]

5. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 729 - 432 = 297\]

\[x_1 = \frac{27 + \sqrt{297}}{2} = \frac{27 + 3\sqrt{33}}{2}\]

\[x_2 = \frac{27 - \sqrt{297}}{2} = \frac{27 - 3\sqrt{33}}{2}\]

Это решение не подходит, так как у нас в условии \(\frac{1}{12}\), значит, нужно упростить.

\[\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}\]

\[5x - y = 18 \Rightarrow y = 5x - 18\]

\[\frac{1}{x} - \frac{1}{5x-18} = \frac{1}{12}\]

\[12(5x-18) - 12x = x(5x-18)\]

\[60x - 216 - 12x = 5x^2 - 18x\]

\[5x^2 - 18x - 48x + 216 = 0\]

\[5x^2 - 66x + 216 = 0\]

\[D = (-66)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 216 = 4356 - 4320 = 36\]

\[x_1 = \frac{66 + \sqrt{36}}{10} = \frac{72}{10} = 7.2\]

\[x_2 = \frac{66 - \sqrt{36}}{10} = \frac{60}{10} = 6\]

Подставим в уравнение y = 5x - 18

\[y_1 = 5 \cdot 7.2 - 18 = 36 - 18 = 18\]

\[y_2 = 5 \cdot 6 - 18 = 30 - 18 = 12\]

Первый корень не подходит, так как в условии \(\frac{1}{12}\), значит.

\[\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}\]

должно выполняться. Если подставить x = 7.2 и y = 18, то получим

\[\frac{1}{7.2} - \frac{1}{18} = 0.138 - 0.055 = 0.083 = \frac{1}{12}\]

Второй корень

\[\frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{2-1}{12} = \frac{1}{12}\]

Подходит.

6. Найдем y:

\[y = 5x - 18 = 5 \cdot 6 - 18 = 30 - 18 = 12\]

Ответ: x = 6, y = 12