587. Решите систему уравнений: 2 [9x² + 9 y² = 13, 3 xy = 2; a) 3 xy 6) 2 (x²+ y² = 29, - 4x = 9; B) [2x² + xy = 6, 3x²+xyx = 6; 2 r) 3x² - 2y² = 25, (x - y + y = 5.

Ответ: Решение представлено ниже.

a)

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} 9x^2 + 9y^2 = 13 \\ 3xy = 2 \end{cases}\]

Выразим xy из второго уравнения:

\[xy = \frac{2}{3}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[(xy)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \Rightarrow x^2y^2 = \frac{4}{9}\]

Теперь рассмотрим первое уравнение: 9x² + 9y² = 13. Разделим обе части на 9:

\[x^2 + y^2 = \frac{13}{9}\]

Мы знаем, что (x + y)² = x² + 2xy + y² и (x - y)² = x² - 2xy + y². Выразим x² + y² через (x + y)² и (x - y)²:

\[x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (x - y)^2 + 2xy\]

Подставим известные значения:

\[(x + y)^2 - 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{13}{9}\] \[(x + y)^2 = \frac{13}{9} + \frac{4}{3} = \frac{13 + 12}{9} = \frac{25}{9}\] \[x + y = \pm \frac{5}{3}\]

Аналогично:

\[(x - y)^2 + 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{13}{9}\] \[(x - y)^2 = \frac{13}{9} - \frac{4}{3} = \frac{13 - 12}{9} = \frac{1}{9}\] \[x - y = \pm \frac{1}{3}\]

Теперь у нас есть четыре системы уравнений:

1. \(\begin{cases} x + y = \frac{5}{3} \\ x - y = \frac{1}{3} \end{cases}\)
2. \(\begin{cases} x + y = \frac{5}{3} \\ x - y = -\frac{1}{3} \end{cases}\)
3. \(\begin{cases} x + y = -\frac{5}{3} \\ x - y = \frac{1}{3} \end{cases}\)
4. \(\begin{cases} x + y = -\frac{5}{3} \\ x - y = -\frac{1}{3} \end{cases}\)

Решим каждую систему:

1. Сложим уравнения:

   \[2x = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow x = 1\] \[y = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}\]

   Решение: \((1, \frac{2}{3})\)

2. Сложим уравнения:

   \[2x = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3}\] \[y = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = 1\]

   Решение: \((\frac{2}{3}, 1)\)

3. Сложим уравнения:

   \[2x = -\frac{4}{3} \Rightarrow x = -\frac{2}{3}\] \[y = -\frac{5}{3} + \frac{2}{3} = -1\]

   Решение: \((-\frac{2}{3}, -1)\)

4. Сложим уравнения:

   \[2x = -\frac{6}{3} = -2 \Rightarrow x = -1\] \[y = -\frac{5}{3} + 1 = -\frac{2}{3}\]

   Решение: \((-1, -\frac{2}{3})\)

б)

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ y^2 - 4x^2 = 9 \end{cases}\]

Выразим y² из первого уравнения:

\[y^2 = 29 - x^2\]

Подставим это во второе уравнение:

\[29 - x^2 - 4x^2 = 9\] \[-5x^2 = -20\] \[x^2 = 4\] \[x = \pm 2\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 2:

\[y^2 = 29 - 4 = 25 \Rightarrow y = \pm 5\]

Если x = -2:

\[y^2 = 29 - 4 = 25 \Rightarrow y = \pm 5\]

Решения: \((2, 5), (2, -5), (-2, 5), (-2, -5)\)

в)

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} 2x^2 + xy = 6 \\ 3x^2 + xy - x = 6 \end{cases}\]

Выразим xy из первого уравнения:

\[xy = 6 - 2x^2\]

Подставим это во второе уравнение:

\[3x^2 + 6 - 2x^2 - x = 6\] \[x^2 - x = 0\] \[x(x - 1) = 0\] \[x = 0 \text{ или } x = 1\]

Найдем соответствующие значения y:

Если x = 0:

\[0 \cdot y = 6 - 2 \cdot 0 \Rightarrow 0 = 6\]

Это невозможно, поэтому x = 0 не является решением.

Если x = 1:

\[y = 6 - 2 \cdot 1 = 4\]

Решение: \((1, 4)\)

г)

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} 3x^2 - 2y^2 = 25 \\ x^2 - y^2 + y = 5 \end{cases}\]

Умножим второе уравнение на 2:

\[2x^2 - 2y^2 + 2y = 10\]

Выразим 2y² из этого уравнения:

\[2y^2 = 2x^2 + 2y - 10\]

Подставим это в первое уравнение:

\[3x^2 - (2x^2 + 2y - 10) = 25\] \[x^2 - 2y + 10 = 25\] \[x^2 - 2y = 15\] \[x^2 = 2y + 15\]

Подставим x² = 2y + 15 во второе уравнение исходной системы:

\[2y + 15 - y^2 + y = 5\] \[-y^2 + 3y + 10 = 0\] \[y^2 - 3y - 10 = 0\]

Решим это квадратное уравнение:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\] \[y = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}\] \[y = 5 \text{ или } y = -2\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Если y = 5:

\[x^2 = 2 \cdot 5 + 15 = 25 \Rightarrow x = \pm 5\]

Если y = -2:

\[x^2 = 2 \cdot (-2) + 15 = 11 \Rightarrow x = \pm \sqrt{11}\]

Решения: \((5, 5), (-5, 5), (\sqrt{11}, -2), (-\sqrt{11}, -2)\)

Ответ:

• a) \((1, \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}, 1), (-\frac{2}{3}, -1), (-1, -\frac{2}{3})\)
• б) \((2, 5), (2, -5), (-2, 5), (-2, -5)\)
• в) \((1, 4)\)
• г) \((5, 5), (-5, 5), (\sqrt{11}, -2), (-\sqrt{11}, -2)\)