Решите систему: \(\begin{cases}\log_4(x+y)=2,\\ \log_3 x+\log_3 y=2+\log_3 7.\end{cases}\)

Из первого уравнения:

\(\log_4(x+y)=2 \Rightarrow x+y=4^2=16.\)

Во втором уравнении объединим логарифмы и представим число 2 как \(\log_3 9\):

\(\log_3 x+\log_3 y=\log_3(xy)=\log_3 9+\log_3 7=\log_3 63.\)

Следовательно, \(xy=63\). Числа \(x\) и \(y\) — корни уравнения \(t^2-16t+63=0\):

\(t^2-16t+63=(t-7)(t-9)=0,\) поэтому корни — 7 и 9.

Учитывая, что логарифмы определены при \(x>0\) и \(y>0\), получаем обе перестановки:

Ответ: \((x,y)=(7,9)\) или \((9,7)\).