Решите неравенство: $$(x+6)(3x-9)>0$$

Для решения неравенства $$(x+6)(3x-9) > 0$$, нам нужно найти значения $$x$$, при которых произведение $$(x+6)$$ и $$(3x-9)$$ больше нуля. 1. Найдем нули каждого множителя: * $$x+6 = 0 \Rightarrow x = -6$$ * $$3x-9 = 0 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$$ 2. Отметим нули на числовой прямой: Отметим точки $$-6$$ и $$3$$ на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $$(-\infty, -6)$$, $$(-6, 3)$$ и $$(3, +\infty)$$. 3. Определим знаки множителей на каждом интервале: * Интервал $$(-\infty, -6)$$: * $$x+6 < 0$$ (например, при $$x = -7$$, $$-7+6 = -1 < 0$$) * $$3x-9 < 0$$ (например, при $$x = -7$$, $$3(-7)-9 = -21-9 = -30 < 0$$) * Тогда $$(x+6)(3x-9) > 0$$ (так как отрицательное умноженное на отрицательное дает положительное) * Интервал $$(-6, 3)$$: * $$x+6 > 0$$ (например, при $$x = 0$$, $$0+6 = 6 > 0$$) * $$3x-9 < 0$$ (например, при $$x = 0$$, $$3(0)-9 = -9 < 0$$) * Тогда $$(x+6)(3x-9) < 0$$ (так как положительное умноженное на отрицательное дает отрицательное) * Интервал $$(3, +\infty)$$: * $$x+6 > 0$$ (например, при $$x = 4$$, $$4+6 = 10 > 0$$) * $$3x-9 > 0$$ (например, при $$x = 4$$, $$3(4)-9 = 12-9 = 3 > 0$$) * Тогда $$(x+6)(3x-9) > 0$$ (так как положительное умноженное на положительное дает положительное) 4. Запишем решение: Неравенство $$(x+6)(3x-9) > 0$$ выполняется на интервалах $$(-\infty, -6)$$ и $$(3, +\infty)$$. Следовательно, решением неравенства является объединение этих интервалов: $$x \in (-\infty, -6) \cup (3, +\infty)$$. Ответ: $$x \in (-\infty, -6) \cup (3, +\infty)$$