268. Решите неравенство: a) x² < 16; б) x² ≥ 3; в) 0,2x² > 1,8; г) -5x² ≤ x; д) 3x² < -2x; e) 7x < x².

Решение неравенств:

а) $$x^2 < 16$$

$$x^2 - 16 < 0$$

$$(x - 4)(x + 4) < 0$$

Интервалы: (-∞; -4), (-4; 4), (4; +∞)

Проверяем знак на каждом интервале:

x = -5: (-5 - 4)(-5 + 4) = (-9)(-1) = 9 > 0

x = 0: (0 - 4)(0 + 4) = (-4)(4) = -16 < 0

x = 5: (5 - 4)(5 + 4) = (1)(9) = 9 > 0

Решение: -4 < x < 4

б) $$x^2 ≥ 3$$

$$x^2 - 3 ≥ 0$$

$$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) ≥ 0$$

Интервалы: (-∞; -√3), (-√3; √3), (√3; +∞)

Проверяем знак на каждом интервале:

x = -2: (-2 - √3)(-2 + √3) = (+)(-) > 0

x = 0: (0 - √3)(0 + √3) = (-)(-) < 0

x = 2: (2 - √3)(2 + √3) = (+)(+) > 0

Решение: $$x ≤ -\sqrt{3}$$ или $$x ≥ \sqrt{3}$$

в) $$0,2x^2 > 1,8$$

$$x^2 > \frac{1,8}{0,2}$$

$$x^2 > 9$$

$$x^2 - 9 > 0$$

$$(x - 3)(x + 3) > 0$$

Интервалы: (-∞; -3), (-3; 3), (3; +∞)

Проверяем знак на каждом интервале:

x = -4: (-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = 7 > 0

x = 0: (0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 < 0

x = 4: (4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) = 7 > 0

Решение: x < -3 или x > 3

г) $$-5x^2 ≤ x$$

$$5x^2 + x ≥ 0$$

$$x(5x + 1) ≥ 0$$

Интервалы: (-∞; -1/5), (-1/5; 0), (0; +∞)

Проверяем знак на каждом интервале:

x = -1: -1(-5 + 1) = (-1)(-4) = 4 > 0

x = -0.1: -0.1(-0.5 + 1) = (-0.1)(0.5) = -0.05 < 0

x = 1: 1(5 + 1) = 6 > 0

Решение: x ≤ -0,2 или x ≥ 0

д) $$3x^2 < -2x$$

$$3x^2 + 2x < 0$$

$$x(3x + 2) < 0$$

Интервалы: (-∞; -2/3), (-2/3; 0), (0; +∞)

Проверяем знак на каждом интервале:

x = -1: (-1)(-3 + 2) = (-1)(-1) = 1 > 0

x = -0.5: (-0.5)(-1.5 + 2) = (-0.5)(0.5) = -0.25 < 0

x = 1: (1)(3 + 2) = 5 > 0

Решение: -2/3 < x < 0

е) $$7x < x^2$$

$$x^2 - 7x > 0$$

$$x(x - 7) > 0$$

Интервалы: (-∞; 0), (0; 7), (7; +∞)

Проверяем знак на каждом интервале:

x = -1: (-1)(-1 - 7) = (-1)(-8) = 8 > 0

x = 1: (1)(1 - 7) = (1)(-6) = -6 < 0

x = 8: (8)(8 - 7) = (8)(1) = 8 > 0

Решение: x < 0 или x > 7

Ответ: а) -4 < x < 4; б) $$x ≤ -\sqrt{3}$$ или $$x ≥ \sqrt{3}$$; в) x < -3 или x > 3; г) x ≤ -0,2 или x ≥ 0; д) -2/3 < x < 0; е) x < 0 или x > 7