Решите неравенство 2x ≥ log₂(35/3 * 6^(x-1) - 2 * 9^(x-1/2)).

Решение:

Данное неравенство: \( 2x \geq \log_2 \left( \frac{35}{3} \cdot 6^{x-1} - 2 \cdot 9^{x-\frac{1}{2}} \right) \).

Для начала упростим выражение под логарифмом:

\( \frac{35}{3} \cdot 6^{x-1} = \frac{35}{3} \cdot \frac{6^x}{6} = \frac{35 \cdot 6^x}{18} \).

\( 2 \cdot 9^{x-\frac{1}{2}} = 2 \cdot 9^x \cdot 9^{-\frac{1}{2}} = 2 \cdot 9^x \cdot \frac{1}{\sqrt{9}} = 2 \cdot 9^x \cdot \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 9^x}{3} \).

Теперь перепишем неравенство:

\( 2x \geq \log_2 \left( \frac{35 \cdot 6^x}{18} - \frac{2 \cdot 9^x}{3} \right) \).

Чтобы избавиться от логарифма, возведём обе части в степень 2:

\( 2^{2x} \geq \frac{35 \cdot 6^x}{18} - \frac{2 \cdot 9^x}{3} \).

\( (2^2)^x \geq \frac{35 \cdot (2 \cdot 3)^x}{18} - \frac{2 \cdot (3^2)^x}{3} \).

\( 4^x \geq \frac{35 \cdot 2^x \cdot 3^x}{18} - \frac{2 \cdot 3^{2x}}{3} \).

Разделим обе части на \( 4^x \) (так как \( 4^x > 0 \) для всех \( x \)):

\( 1 \geq \frac{35}{18} \left(\frac{2}{4}\right)^x \left(\frac{3}{4}\right)^x - \frac{2}{3} \left(\frac{9}{4}\right)^x \).

\( 1 \geq \frac{35}{18} \left(\frac{1}{2}\right)^x \left(\frac{3}{4}\right)^x - \frac{2}{3} \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} \).

Это не совсем упрощает задачу. Попробуем иначе.

Вернёмся к выражению под логарифмом:

\( \frac{35}{3} \cdot 6^{x-1} - 2 \cdot 9^{x-\frac{1}{2}} = \frac{35}{3} \cdot \frac{6^x}{6} - 2 \cdot \frac{9^x}{3} = \frac{35 \cdot 6^x}{18} - \frac{2 \cdot 9^x}{3} \).

Заметим, что \( 6^x = (2 · 3)^x = 2^x · 3^x \) и \( 9^x = (3^2)^x = 3^{2x} \).

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{35 · 2^x · 3^x - 12 · 3^{2x}}{18} \).

Неравенство имеет вид: \( 2x \geq \log_2 \left( \frac{35 · 6^x - 12 · 9^x}{18} \right) \).

Возведём обе части в степень 2:

\( 2^{2x} \geq \frac{35 · 6^x - 12 · 9^x}{18} \).

\( 4^x \geq \frac{35 · 6^x - 12 · 9^x}{18} \).

\( 18 · 4^x \geq 35 · 6^x - 12 · 9^x \).

Разделим на \( 9^x \) (предполагая \( 9^x > 0 \)):

\( 18 \left(\frac{4}{9}\right)^x \geq 35 \left(\frac{6}{9}\right)^x - 12 \).

\( 18 \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} \geq 35 \left(\frac{2}{3}\right)^x - 12 \).

Сделаем замену \( y = \left(\frac{2}{3}\right)^x \). Тогда \( y^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} \).

\( 18y^2 \geq 35y - 12 \).

\( 18y^2 - 35y + 12 \geq 0 \).

Найдем корни квадратного уравнения \( 18y^2 - 35y + 12 = 0 \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 · 18 · 12 = 1225 - 864 = 361 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{361} = 19 \).

\( y_1 = \frac{35 - 19}{2 · 18} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9} \).

\( y_2 = \frac{35 + 19}{2 · 18} = \frac{54}{36} = \frac{3}{2} \).

Неравенство \( 18y^2 - 35y + 12 \geq 0 \) выполняется при \( y \leq \frac{4}{9} \) или \( y \geq \frac{3}{2} \).

Подставим обратно \( y = \left(\frac{2}{3}\right)^x \):

1. \( \left(\frac{2}{3}\right)^x \leq \frac{4}{9} \)

\( \left(\frac{2}{3}\right)^x \leq \left(\frac{2}{3}\right)^2 \).

Так как основание степени \( \frac{2}{3} < 1 \), то при решении неравенства знаки меняются:

\( x \geq 2 \).

2. \( \left(\frac{2}{3}\right)^x \geq \frac{3}{2} \)

\( \left(\frac{2}{3}\right)^x \geq \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \).

\( x \leq -1 \).

Также необходимо учесть область определения логарифма:

\( \frac{35}{3} · 6^{x-1} - 2 · 9^{x-\frac{1}{2}} > 0 \).

\( \frac{35 · 6^x}{18} - \frac{2 · 9^x}{3} > 0 \).

\( 35 · 6^x > 12 · 9^x \).

\( \frac{35}{12} > \left(\frac{9}{6}\right)^x \).

\( \frac{35}{12} > \left(\frac{3}{2}\right)^x \).

При \( x = -1 \), \( (3/2)^{-1} = 2/3 \).

При \( x = 2 \), \( (3/2)^2 = 9/4 \).

\( \frac{35}{12} \approx 2.917 \).

\( \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{35}{12}\right) \approx \log_{1.5}(2.917) \approx 2.4 \).

Следовательно, \( x < \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{35}{12}\right) \).

Объединяя условия \( x \geq 2 \) или \( x \leq -1 \) с \( x < \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{35}{12}\right) \), получаем:

\( x \leq -1 \)

и

\( 2 \leq x < \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{35}{12}\right) \).

Ответ: \( x \leq -1 \) или \( 2 \leq x < \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{35}{12}\right) \).