Решите неравенство (3-x)(x²+4х-21) ≥0.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Ответ: x \u2208 (-\u221e; -7] \u222a [3; 3]

Краткое пояснение: Разложим квадратный трехчлен на множители и решим неравенство методом интервалов.

Шаг 1: Разложим квадратный трехчлен \(x^2 + 4x - 21\) на множители. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 4x - 21 = 0\) через дискриминант:

Показать пошаговые вычисления

Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100\)
Корни: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 10}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 10}{2} = -7\)
Таким образом, \(x^2 + 4x - 21 = (x - 3)(x + 7)\)

Шаг 2: Запишем неравенство с разложенным квадратным трехчленом:
\[(3 - x)(x - 3)(x + 7) \geq 0\]
Шаг 3: Изменим знак в первой скобке и поменяем знак неравенства:
\[-(x - 3)(x - 3)(x + 7) \geq 0\]\[(x - 3)^2(x + 7) \leq 0\]
Шаг 4: Решим неравенство методом интервалов:
Точки \(x = 3\) и \(x = -7\) разбивают числовую прямую на интервалы.
Шаг 5: Определим знаки на интервалах:
(-\u221e; -7), (-7; 3), (3; +\u221e)
Шаг 6: Выберем интервалы, где выражение меньше или равно нулю. В данном случае, это интервал (-\u221e; -7], а также точка \(x = 3\).

Ответ: x \u2208 (-\u221e; -7] \u222a [3; 3]