Решите неравенство (x^2 + 3x)(-x^2 - 9) ≥ 4(-x^2 - 9) В ответе запишите количество целых решений неравенства

Решение:

Дано неравенство: \( (x^2 + 3x)(-x^2 - 9) \ge 4(-x^2 - 9) \)

1. Перенесём все члены в одну сторону: \( (x^2 + 3x)(-x^2 - 9) - 4(-x^2 - 9) \ge 0 \)
2. Вынесем общий множитель \( (-x^2 - 9) \) за скобки: \( (-x^2 - 9) [ (x^2 + 3x) - 4 ] \ge 0 \)
3. Упростим выражение в квадратных скобках: \( (-x^2 - 9) (x^2 + 3x - 4) \ge 0 \)
4. Заметим, что \( -x^2 - 9 = -(x^2 + 9) \). Так как \( x^2 ≥ 0 \) для любого действительного \( x \), то \( x^2 + 9 \) всегда больше нуля. Следовательно, \( -(x^2 + 9) \) всегда меньше нуля.
5. Чтобы произведение было неотрицательным (\( \ge 0 \)), второй множитель \( (x^2 + 3x - 4) \) должен быть неположительным (\( \le 0 \)), поскольку мы умножаем отрицательное число на \( (x^2 + 3x - 4) \).
6. Решим квадратное неравенство: \( x^2 + 3x - 4 \le 0 \)
7. Найдем корни уравнения \( x^2 + 3x - 4 = 0 \). Дискриминант \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \). \( \sqrt{D} = 5 \).
8. Корни: \( x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \).
9. Так как парабола \( y = x^2 + 3x - 4 \) направлена ветвями вверх, неравенство \( x^2 + 3x - 4 \le 0 \) выполняется для \( x \) между корнями, включая сами корни.
10. Таким образом, \( -4 \le x \le 1 \).
11. Найдём количество целых решений в этом промежутке: -4, -3, -2, -1, 0, 1.
12. Всего 6 целых решений.

Ответ: 6.