1. Решите неравенство (x−4)²(x+2)²(x−7)≤0

Ответ: \(-\infty; -2\} \cup \{7\}

Шаг 1: Определим нули функции

У нас есть функция \[f(x) = (x-4)^2(x+2)^2(x-7)\]

Нулями этой функции являются значения x, при которых \[f(x) = 0\]

То есть, \[x = 4, x = -2, x = 7\]

Шаг 2: Метод интервалов

Отметим эти точки на числовой прямой. Точки \[-2, 4, 7\] разбивают числовую прямую на интервалы:

\[(-\infty, -2), (-2, 4), (4, 7), (7, +\infty)\]

Определим знак функции на каждом из интервалов:

• \[x < -2\]: Например, \[x = -3\]: \[f(-3) = (-3-4)^2(-3+2)^2(-3-7) = (49)(1)(-10) < 0\]
• \[-2 < x < 4\]: Например, \[x = 0\]: \[f(0) = (0-4)^2(0+2)^2(0-7) = (16)(4)(-7) < 0\]
• \[4 < x < 7\]: Например, \[x = 5\]: \[f(5) = (5-4)^2(5+2)^2(5-7) = (1)(49)(-2) < 0\]
• \[x > 7\]: Например, \[x = 8\]: \[f(8) = (8-4)^2(8+2)^2(8-7) = (16)(100)(1) > 0\]

Шаг 3: Анализ решения

Нам нужно найти интервалы, где \[f(x) ≤ 0\]

Из анализа интервалов видно, что \[f(x) < 0\] на интервалах \[(-\infty, -2), (-2, 4), (4, 7)\]

Так как нам нужно \[f(x) ≤ 0\] , то нужно включить нули функции.

Однако, поскольку \[x = 4\] и \[x = -2\] являются нулями, но смена знака не происходит (из-за квадратов), то их нужно рассматривать отдельно.

Значит, \[x = 4\] и \[x = -2\] являются решениями, но интервалы вокруг этих точек не меняют знак.

Шаг 4: Запись ответа

Получаем, что \[x ∈ (-\infty, -2] ∪ \{4\} ∪ [7, 7]\]

Однако, так как в точке x = 4 нет смены знака, она не образует интервал. Так же и для x = -2.

Правильный ответ:

\[x ∈ (-\infty, -2] ∪ \{7\}\]

Ответ: \(-\infty; -2\} \cup \{7\}