Решите неравенство. В ответе укажите наименьшее целое решение: \[ \frac{x^2 - 6x + 9}{(x - 3)(x + 2)} \leq -1 \]

Решение:

1. Перенесём всё в левую часть:
\[ \frac{x^2 - 6x + 9}{(x - 3)(x + 2)} + 1 \leq 0 \]
2. Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{x^2 - 6x + 9 + (x - 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)} \leq 0 \]
3. Раскроем скобки в числителе:
\[ \frac{x^2 - 6x + 9 + x^2 + 2x - 3x - 6}{(x - 3)(x + 2)} \leq 0 \]
4. Упростим числитель:
\[ \frac{2x^2 - 7x + 3}{(x - 3)(x + 2)} \leq 0 \]
5. Разложим числитель на множители. Корни уравнения \( 2x^2 - 7x + 3 = 0 \):
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4} \] \( x_1 = \frac{7+5}{4} = 3 \) и \( x_2 = \frac{7-5}{4} = \frac{1}{2} \).
6. Таким образом, неравенство примет вид:
\[ \frac{2(x - 3)(x - \frac{1}{2})}{(x - 3)(x + 2)} \leq 0 \]
7. Сократим \( (x - 3) \), учитывая, что \( x \neq 3 \):
\[ \frac{2(x - \frac{1}{2})}{x + 2} \leq 0 \]
8. Применим метод интервалов. Критические точки: \( x = \frac{1}{2} \) (числитель) и \( x = -2 \) (знаменатель).
9. Рассмотрим знаки на интервалах:
• \( (-\infty, -2) \): \( \frac{2(-\text{ve})}{-\text{ve}} = + \)
• \( (-2, \frac{1}{2}) \): \( \frac{2(-\text{ve})}{+\text{ve}} = - \)
• \( (\frac{1}{2}, 3) \): \( \frac{2(+\text{ve})}{+\text{ve}} = + \)
• \( (3, \infty) \): \( \frac{2(+\text{ve})}{+\text{ve}} = + \)
10. Решение неравенства: \( x \in (-2, \frac{1}{2}) \).
11. Наименьшее целое решение в этом интервале: \( x = -1 \).

Ответ: -1.