Решите неравенство. В ответе укажите наибольшее целое решение: (x^2 - 1)(x + 4)(x^3 - 1) \(\leq\) 0

Решение:

1. Разложим множители на более простые:
• \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)
• \( x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \)
2. Подставим разложенные множители в неравенство:
• \( (x - 1)(x + 1)(x + 4)(x - 1)(x^2 + x + 1) \leq 0 \)
• \( (x - 1)^2(x + 1)(x + 4)(x^2 + x + 1) \leq 0 \)
3. Рассмотрим множитель \( x^2 + x + 1 \). Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \). Так как \( D < 0 \) и старший коэффициент положителен, то \( x^2 + x + 1 > 0 \) для всех \( x \).
4. Неравенство примет вид:
• \( (x - 1)^2(x + 1)(x + 4) \leq 0 \)
5. Так как \( (x - 1)^2 \) всегда неотрицательно, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы \( (x + 1)(x + 4) \leq 0 \) или \( x = 1 \).
6. Решим \( (x + 1)(x + 4) \leq 0 \). Корни: \( x = -1 \) и \( x = -4 \). Парабола ветвями вверх, поэтому \( -4 \leq x \leq -1 \).
7. Объединяя с \( x = 1 \), получаем решение: \( [-4, -1] \cup \{1\} \).
8. Наибольшее целое решение — это 1.

Ответ: 1