Решите неравенство. В ответе укажите количество целых решений: (x^2 + 3x - 4) / (x^2 + 16) \(\le\) 0

Решение:

Данное неравенство:

\[ \frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + 16} \le 0 \]

Знаменатель \( x^2 + 16 \) всегда положителен, так как \( x^2 \ge 0 \) для любого действительного \( x \), и \( 16 > 0 \).

Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя.

Чтобы дробь была меньше или равна нулю, числитель должен быть меньше или равен нулю:

\[ x^2 + 3x - 4 \le 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 3x - 4 = 0 \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \).

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

\( x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Так как парабола \( y = x^2 + 3x - 4 \) направлена ветвями вверх, то неравенство \( x^2 + 3x - 4 \le 0 \) выполняется при \( x \in [x_1, x_2] \).

То есть, \( x \in [-4, 1] \).

Целые решения в этом интервале:

-4, -3, -2, -1, 0, 1.

Количество целых решений равно 6.

Ответ: 6