Решите неравенство. В ответе укажите количество целых решений: \[ \frac{7x - 13}{(x^2 - 9x + 18)(x^2 - 8x + 16)} \leq \frac{-1}{x^2 - 10x + 24} \]

Решение:

1. Разложим знаменатели на множители:
• \( x^2 - 9x + 18 = (x - 3)(x - 6) \)
• \( x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 \)
• \( x^2 - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6) \)
2. Подставим разложенные множители в неравенство:
\[ \frac{7x - 13}{(x - 3)(x - 6)(x - 4)^2} \leq \frac{-1}{(x - 4)(x - 6)} \]
3. Перенесём всё в левую часть:
\[ \frac{7x - 13}{(x - 3)(x - 6)(x - 4)^2} + \frac{1}{(x - 4)(x - 6)} \leq 0 \]
4. Приведём к общему знаменателю \( (x - 3)(x - 6)(x - 4)^2 \):
\[ \frac{7x - 13 + (x - 3)(x - 4)}{(x - 3)(x - 6)(x - 4)^2} \leq 0 \]
5. Раскроем скобки в числителе:
\[ \frac{7x - 13 + x^2 - 4x - 3x + 12}{(x - 3)(x - 6)(x - 4)^2} \leq 0 \]
6. Упростим числитель:
\[ \frac{x^2 - 1}{(x - 3)(x - 6)(x - 4)^2} \leq 0 \]
7. Разложим числитель на множители: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \).
8. Неравенство примет вид:
\[ \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 3)(x - 6)(x - 4)^2} \leq 0 \]
9. Критические точки: \( -1, 1, 3, 4, 6 \). Учтём, что \( (x - 4)^2 \) всегда неотрицателен, но \( x \neq 4 \).
10. Рассмотрим знаки на интервалах:
• \( (-\infty, -1] \): \( \frac{(-\text{ve})(-\text{ve})}{(-\text{ve})(-\text{ve})(+\text{ve})} = + \)
• \( [-1, 1] \): \( \frac{(-\text{ve})(+\text{ve})}{(-\text{ve})(-\text{ve})(+\text{ve})} = - \)
• \( [1, 3) \): \( \frac{(+\text{ve})(+\text{ve})}{(-\text{ve})(-\text{ve})(+\text{ve})} = + \)
• \( (3, 4) \): \( \frac{(+\text{ve})(+\text{ve})}{(+\text{ve})(-\text{ve})(+\text{ve})} = - \)
• \( (4, 6) \): \( \frac{(+\text{ve})(+\text{ve})}{(+\text{ve})(-\text{ve})(+\text{ve})} = - \)
• \( (6, \infty) \): \( \frac{(+\text{ve})(+\text{ve})}{(+\text{ve})(+\text{ve})(+\text{ve})} = + \)
11. Решение неравенства: \( x \in [-1, 1] \cup (3, 6) \).
12. Целые решения: \( -1, 0, 1 \) из первого интервала и \( 4, 5 \) из второго.
13. Количество целых решений: 3 + 2 = 5.

Ответ: 5.