Решите неравенство: \(\sqrt{5x+6} < -x\)

Решение:

Для решения неравенства \(\sqrt{5x+6} < -x\) рассмотрим два случая:

1. Случай 1: Значение под корнем неотрицательно, а правая часть отрицательна.
   \(5x+6 \ge 0 \implies x \ge -6/5\)
   \(-x < 0 \implies x > 0\)
   При \( x > 0 \), левая часть (корень) неотрицательна, а правая часть отрицательна. Неравенство \(\sqrt{5x+6} < -x\) не может быть выполнено, так как неотрицательное число не может быть меньше отрицательного. Следовательно, в этом случае решений нет.
2. Случай 2: Оба выражения неотрицательны.
   \(5x+6 \ge 0 \implies x \ge -6/5\)
   \(-x \ge 0 \implies x \le 0\)
   Объединяя эти условия, получаем \(-6/5 \le x \le 0\).
   В этом случае мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя его знака:
   \((\sqrt{5x+6})^2 < (-x)^2\)
   \(5x+6 < x^2\)
   \(x^2 - 5x - 6 > 0\)
   Решим квадратное уравнение \(x^2 - 5x - 6 = 0\):
   Дискриминант \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\).
   Корни: \(x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6\).
   Таким образом, \(x^2 - 5x - 6 > 0\) при \(x < -1\) или \(x > 6\).
   Теперь нужно пересечь полученные условия с условиями этого случая: \(-6/5 \le x \le 0\).
   Пересечение \((-6/5 \le x \le 0)\) и \((x < -1)\) дает \(-6/5 \le x < -1\).
   Пересечение \((-6/5 \le x \le 0)\) и \((x > 6)\) пустое.

Объединяя решения из обоих случаев, мы получаем промежуток \(-6/5 \le x < -1\).

Ответ: \( [-6/5; -1) \).