Решите неравенство: logx+1(x^2 – 5x + 7) ≤ logx+1 x.

Решение:

Данное неравенство является логарифмическим. Для его решения необходимо учесть условия существования логарифмов и свойства логарифмической функции.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   • Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице: \( x+1 > 0 \) и \( x+1 \neq 1 \). Отсюда \( x > -1 \) и \( x \neq 0 \).
   • Аргументы логарифмов должны быть положительными: \( x^2 - 5x + 7 > 0 \) и \( x > 0 \).

   Рассмотрим первое неравенство \( x^2 - 5x + 7 > 0 \). Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3 \). Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен, то \( x^2 - 5x + 7 > 0 \) при любых \( x \).

   Объединяя все условия, получаем \( x > 0 \) и \( x \neq 0 \), что сводится к \( x > 0 \).

2. Решим неравенство, учитывая основание логарифма:
• Случай 1: Основание больше единицы (\( x+1 > 1 \), то есть \( x > 0 \)).

  В этом случае логарифмическая функция \( y = \textrm{log}_{x+1} t \) является возрастающей. Неравенство сохраняет знак:

  \[ x^2 - 5x + 7 \leq x \]

  \[ x^2 - 6x + 7 \leq 0 \]

  Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 6x + 7 = 0 \).

  Дискриминант \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8 \).

  Корни: \( x_1 = \frac{6 - \sqrt{8}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{2} = 3 - \sqrt{2} \) и \( x_2 = \frac{6 + \sqrt{8}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{2}}{2} = 3 + \sqrt{2} \).

  Учитывая, что \( \textrm{log}_{x+1} x \) определен только для \( x > 0 \), и \( x+1 > 1 \) (т.е. \( x > 0 \)), интервал, удовлетворяющий \( x^2 - 6x + 7 \leq 0 \) и \( x > 0 \), есть \( [3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}] \).

  Так как \( 3 - \sqrt{2} \approx 3 - 1.414 = 1.586 > 0 \), вся область \( [3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}] \) находится в рамках \( x > 0 \).

• Случай 2: Основание от нуля до единицы (\( 0 < x+1 < 1 \), то есть \( -1 < x < 0 \)).

  В этом случае логарифмическая функция \( y = \textrm{log}_{x+1} t \) является убывающей. Неравенство меняет знак:

  \[ x^2 - 5x + 7 \geq x \]

  \[ x^2 - 6x + 7 \geq 0 \]

  Корни этого неравенства: \( x = 3 - \sqrt{2} \) и \( x = 3 + \sqrt{2} \).

  Таким образом, \( x^2 - 6x + 7 \geq 0 \) при \( x \leq 3 - \sqrt{2} \) или \( x \geq 3 + \sqrt{2} \).

  Однако, мы рассматриваем случай \( -1 < x < 0 \). В этом интервале неравенство \( x^2 - 6x + 7 \geq 0 \) выполняется.

  Но, согласно ОДЗ, мы имеем \( x > 0 \). Поэтому случай \( -1 < x < 0 \) несовместим с ОДЗ.

3. Объединим результаты:

   Учитывая ОДЗ \( x > 0 \) и результаты из случаев, мы получаем, что неравенство выполняется для \( x \in [3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}] \).

Ответ: \( [3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}] \).