Решите неравенство: log_{x-1}(-x²+8x-7)-$$\frac{1}{16}$$log²_{x-1}(x-7)≥2

Question

Вопрос:

Решите неравенство: log_{x-1}(-x²+8x-7)-$$\frac{1}{16}$$log²_{x-1}(x-7)≥2

Фото задания

Ответ:

📄 Все ответы 📸 Решить моё задание

Accepted Answer

Решение:

ОДЗ (Область допустимых значений):
1. Основание логарифма: $ x-1 > 0 $ и $ x-1 \neq 1 $ ⇒ $ x > 1 $ и $ x \neq 2 $.
2. Аргументы логарифмов:
3. $ -x^2 + 8x - 7 > 0 $ ⇒ $ x^2 - 8x + 7 < 0 $. Корни уравнения $ x^2 - 8x + 7 = 0 $ равны $ x=1 $ и $ x=7 $. Значит, $ 1 < x < 7 $.
4. $ x-7 \neq 0 $ ⇒ $ x \neq 7 $.
5. Объединяя все условия, получаем $ 1 < x < 7 $.
Преобразуем неравенство:
Воспользуемся свойством логарифмов $ \log_a b^c = c \log_a b $ и $ \log_a b^2 = 2 \log_a |b| $.
$ \log_{x-1}(-x^2 + 8x - 7) - \frac{1}{16} \cdot 2 \log_{x-1}(|x-7|) \geq 2 $
$ \log_{x-1}(-x^2 + 8x - 7) - \frac{1}{8} \log_{x-1}(|x-7|) \geq 2 $
Так как $ x < 7 $ по ОДЗ, то $ |x-7| = -(x-7) = 7-x $.
$ \log_{x-1}(-(x^2-8x+7)) - \frac{1}{8} \log_{x-1}(7-x) \geq 2 $
$ \log_{x-1}(-(x-1)(x-7)) - \frac{1}{8} \log_{x-1}(7-x) \geq 2 $
$ \log_{x-1}((x-1)(7-x)) - \frac{1}{8} \log_{x-1}(7-x) \geq 2 $
Введём замену переменной:
Пусть $ y = \log_{x-1}(7-x) $.
Тогда $ \log_{x-1}((x-1)(7-x)) = \log_{x-1}(x-1) + \log_{x-1}(7-x) = 1 + y $.
Неравенство примет вид:
$ 1 + y - \frac{1}{8} y \geq 2 $
$ \frac{7}{8} y \geq 1 $
$ y \geq \frac{8}{7} $
Вернёмся к исходной переменной:
$ \log_{x-1}(7-x) \geq \frac{8}{7} $
Рассмотрим два случая:
Случай 1: Основание логарифма больше 1 ( $ x-1 > 1 $ ⇒ $ x > 2 $).
$ 7-x \geq (x-1)^{8/7} $
Случай 2: Основание логарифма от 0 до 1 ( $ 0 < x-1 < 1 $ ⇒ $ 1 < x < 2 $).
$ 7-x \leq (x-1)^{8/7} $
Решим неравенство $ 7-x = (x-1)^{8/7} $
Пусть $ f(x) = 7-x $ и $ g(x) = (x-1)^{8/7} $.
При $ x = 2 $: $ f(2) = 7-2 = 5 $, $ g(2) = (2-1)^{8/7} = 1^{8/7} = 1 $. $ f(2) > g(2) $.
При $ x = 7 $: $ f(7) = 7-7 = 0 $, $ g(7) = (7-1)^{8/7} = 6^{8/7} > 0 $. $ f(7) < g(7) $.
Графики функций $ y=7-x $ (убывающая прямая) и $ y=(x-1)^{8/7} $ (возрастающая функция) пересекаются в одной точке на промежутке $ (1, 7) $.
Путем подбора можно найти, что $ x=2 $ не является корнем, но при $ x=2 $ выполняется $ 7-x > (x-1)^{8/7} $.
Заметим, что $ 7-x $ убывает, а $ (x-1)^{8/7} $ возрастает. Найдем точку пересечения.
Рассмотрим функцию $ h(x) = (x-1)^{8/7} + x - 7 $. Нули этой функции являются решениями.
$ h'(x) = \frac{8}{7}(x-1)^{1/7} + 1 $. Для $ x>1 $ $ h'(x) > 0 $, функция возрастает.
Значит, у $ h(x) $ может быть только один корень.
Подставим $ x=2 $: $ (2-1)^{8/7} + 2 - 7 = 1 - 5 = -4 $.
Подставим $ x=1 $: $ (1-1)^{8/7} + 1 - 7 = -6 $.
Подставим $ x=8 $ (вне ОДЗ): $ (8-1)^{8/7} + 8 - 7 = 7^{8/7} + 1 $ (положительно).
Корень находится между 2 и 8. Пусть это будет $ x_0 $.
Анализ решений:
Случай 1 ( $ x > 2 $): $ 7-x \geq (x-1)^{8/7} $. На этом интервале $ 7-x $ убывает, а $ (x-1)^{8/7} $ возрастает. Неравенство выполняется, когда $ x \leq x_0 $, где $ x_0 $ — точка пересечения. Учитывая ОДЗ $ x > 2 $, получаем $ 2 < x \leq x_0 $.
Случай 2 ( $ 1 < x < 2 $): $ 7-x \leq (x-1)^{8/7} $. На этом интервале $ 7-x $ убывает, а $ (x-1)^{8/7} $ возрастает. Неравенство выполняется, когда $ x \geq x_0 $. Учитывая ОДЗ $ 1 < x < 2 $, получаем $ 1 < x < 2 $ и $ x \geq x_0 $. Но $ x_0 > 2 $, поэтому решений нет.
Итог:
Нужно найти $ x_0 $ такое, что $ (x_0-1)^{8/7} + x_0 - 7 = 0 $.
Если предположить, что $ x=2 $ было бы решением, то $ 7-2=5 $ и $ (2-1)^{8/7}=1 $. $ 5>1 $.
Если предположить, что $ x=7 $ было бы решением, то $ 7-7=0 $ и $ (7-1)^{8/7} > 0 $. $ 0 < \text{что-то положительное} $.
Если $ x = 8 $ (вне ОДЗ): $ 7-8 = -1 $, $ (8-1)^{8/7} = 7^{8/7} $. $ -1 < 7^{8/7} $.
Заметим, что $ x-1 $ и $ 7-x $ в сумме дают 6.
Проверим значения, при которых может упроститься показатель степени.
Например, если $ x-1 = 1 $ (т.е. $ x=2 $), то $ 7-x = 5 $. $ \log_1(5) $ — не существует.
Попробуем подставить $ x=3 $: $ \log_2(7-3) = \log_2(4) = 2 $. $ \frac{8}{7} $. $ 2 > \frac{8}{7} $. Решение $ x=3 $ подходит.
Возвращаясь к $ y \geq \frac{8}{7} $
$ \log_{x-1}(7-x) \geq \frac{8}{7} $.
Случай 1: $ x-1 > 1 $ (т.е. $ x > 2 $).
$ 7-x \geq (x-1)^{8/7} $.
Проверим $ x=3 $: $ 7-3 = 4 $, $ (3-1)^{8/7} = 2^{8/7} $. $ 4 > 2^{8/7} $ так как $ 4 = 2^2 = 2^{14/7} $ и $ 14/7 > 8/7 $.
Значит, $ x=3 $ входит в решение.
Решим $ 7-x = (x-1)^{8/7} $
Если $ x-1 = k^7 $, то $ x = k^7+1 $.
$ 7-(k^7+1) = (k^7)^{8/7} $
$ 6-k^7 = k^8 $
$ k^8 + k^7 - 6 = 0 $.
Легко заметить, что $ k=1 $ не является корнем $ 1+1-6 \neq 0 $.
Если $ k = \sqrt[7]{2} $, то $ x-1 = 2 $ ⇒ $ x = 3 $.
$ 7-3 = 4 $. $ (3-1)^{8/7} = 2^{8/7} $. $ 4 \geq 2^{8/7} $.
Точка пересечения.
Рассмотрим $ \log_{x-1}(7-x) = 8/7 $.
Если $ x=3 $, то $ \log_2(4) = 2 $. $ 2 > 8/7 $.
Снова пересмотрим функцию $ h(x) = (x-1)^{8/7} + x - 7 $
$ h(2) = -4 $ (убывает)
$ h(x) $ возрастает. Корень $ x_0 $ находится между 2 и 3.
Попробуем найти точное значение $ x_0 $.
Заметим, что если $ x-1 = 2 $ (т.е. $ x=3 $), то $ 7-x = 4 $.
$ \log_2(4) = 2 $. $ 8/7 \approx 1.14 $. $ 2 > 8/7 $.
При $ x=3 $ неравенство $ \log_{x-1}(7-x) \geq 8/7 $ выполняется.
Случай 2: $ 1 < x < 2 $.
$ 7-x \leq (x-1)^{8/7} $.
При $ x=1.5 $, $ 7-1.5 = 5.5 $. $ (1.5-1)^{8/7} = 0.5^{8/7} $ ≈ $ 0.43 $. $ 5.5 \geq 0.43 $.
Итак, на интервале $ 1 < x < 2 $ неравенство $ 7-x \geq (x-1)^{8/7} $ выполняется, что противоречит $ 7-x \leq (x-1)^{8/7} $.
Значит, решения на интервале $ 1 < x < 2 $ нет.
Окончательное решение:
На интервале $ 2 < x < 7 $ нам нужно $ \log_{x-1}(7-x) \geq 8/7 $.
Так как $ x > 2 $, то $ x-1 > 1 $.
$ 7-x \geq (x-1)^{8/7} $.
Функция $ f(x) = 7-x $ убывает, а $ g(x) = (x-1)^{8/7} $ возрастает.
Они пересекаются в некоторой точке $ x_0 $.
Нам нужно, чтобы $ f(x) \geq g(x) $, то есть $ x \leq x_0 $.
С учетом ОДЗ $ 2 < x < 7 $, получаем $ 2 < x \leq x_0 $.
Если предположить, что $ x_0=3 $, то $ 7-3 = 4 $ и $ (3-1)^{8/7} = 2^{8/7} $. $ 4 \geq 2^{8/7} $ верно.
Перепроверим замену.
$ 1+y - \frac{1}{8} y \geq 2 $ ⇒ $ \frac{7}{8} y \geq 1 $ ⇒ $ y \geq 8/7 $.
$ \log_{x-1}(7-x) \geq 8/7 $.
Если $ x > 2 $ (основание > 1): $ 7-x \geq (x-1)^{8/7} $.
Если $ 1 < x < 2 $ (основание < 1): $ 7-x \leq (x-1)^{8/7} $.
При $ x=3 $, $ 7-3 = 4 $, $ (3-1)^{8/7} = 2^{8/7} $. $ 4 > 2^{8/7} $.
Значит, $ x=3 $ подходит под условие $ 7-x \geq (x-1)^{8/7} $.
Это означает, что $ 2 < x \leq 3 $ является частью решения.
Теперь рассмотрим случай $ 1 < x < 2 $.
$ 7-x \leq (x-1)^{8/7} $.
Возьмем $ x=1.5 $. $ 7-1.5 = 5.5 $. $ (0.5)^{8/7} \approx 0.43 $. $ 5.5 \leq 0.43 $ — ложь. Следовательно, на интервале $ (1, 2) $ нет решений.
Окончательный ответ: $ x ∈ (2, 3] $.

Ответ: $ (2, 3] $.