Решите неравенство (х2-7x-8)(x-8)3 ≥0. (x+1)2(5-x)

Ответ: \[ x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 5) \cup \{-1; 8\} \]

Пошаговое решение:

1. Преобразуем неравенство:

   Разложим квадратный трехчлен на множители:

   \[x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1)\]

   Тогда неравенство примет вид:

   \[\frac{(x - 8)(x + 1)(x - 8)^3}{(x + 1)^2(5 - x)} \ge 0\] \[\frac{(x - 8)^4(x + 1)}{(x + 1)^2(5 - x)} \ge 0\]
2. Определим нули функции и точки разрыва:

   Нули числителя:

   \[x = 8, x = -1\]

   Нули знаменателя:

   \[x = -1, x = 5\]

   Точка разрыва:

   \[x = 5\]
3. Метод интервалов:

   Отметим на числовой прямой нули и точки разрыва:

           -----------------------------------------------------
           (-∞)   -1    5     8    (+∞)
           o-----x-----o----x----o-------->
       

   Определим знаки на каждом интервале:

   • \[x < -1\]: \[\frac{(+)(-)}{(+)(-)} = (-) \]
   • \[-1 < x < 5\]: \[\frac{(+)(+)}{(+)(-)} = (-) \]
   • \[5 < x < 8\]: \[\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = (+) \]
   • \[x > 8\]: \[\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = (+) \]
4. Учтем кратность корней:

   Так как \[ (x-8)^4 \] всегда неотрицателен, то \[x = 8\] является решением.

   Так как \[(x+1)^2\] всегда положителен, то \[x = -1\] не является решением, кроме случая, когда \[x=-1\] - корень числителя.

   Точка \[x=5\] является точкой разрыва, поэтому не входит в решение.

5. Запишем ответ:

   Решением неравенства являются интервалы, где функция больше или равна нулю, а также нули числителя, которые не являются нулями знаменателя.

   \[ x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 5) \cup \{-1; 8\} \]

Ответ: \[ x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 5) \cup \{-1; 8\} \]