Решите неравенство $$\frac{x^2 - 8x + 15}{x - 3} \leq 0.$$

Решение:

1. Разложим числитель на множители. Для этого найдём корни уравнения \( x^2 - 8x + 15 = 0 \). Дискриминант \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \). Корни: \( x_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2} = \frac{8 + 2}{2} = 5 \) и \( x_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3 \). Таким образом, \( x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5) \).
2. Неравенство примет вид: \( \frac{(x - 3)(x - 5)}{x - 3} \leq 0 \).
3. Сократим \( (x - 3) \), при условии, что \( x \neq 3 \). Получим: \( x - 5 \leq 0 \).
4. Решим полученное неравенство: \( x \leq 5 \).
5. Учитывая условие \( x \neq 3 \), получаем, что \( x \) может быть меньше 3 или равен 3, но не равен 3, и \( x \) может быть больше 3 и меньше или равен 5.
6. Таким образом, решение неравенства: \( x < 3 \) или \( 3 < x \leq 5 \).

Ответ: \( x < 3 \) или \( 3 < x \leq 5 \).