Решите неравенство $$ \frac{x^2 - 8x + 15}{x - 3} \le 0 $$

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{x^2 - 8x + 15}{x - 3} \le 0 \) сначала разложим числитель на множители.

1. Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 8x + 15 = 0 \). Используем теорему Виета: \( x_1 + x_2 = 8 \) и \( x_1 x x_2 = 15 \). Корнями являются \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = 5 \).
2. Таким образом, числитель можно записать как \( (x - 3)(x - 5) \).
3. Неравенство принимает вид: \( \frac{(x - 3)(x - 5)}{x - 3} \le 0 \).
4. Сократим \( (x - 3) \), учитывая, что \( x
   e 3 \). Получим \( x - 5 \le 0 \) при \( x
   e 3 \).
5. Решаем линейное неравенство: \( x \le 5 \).
6. Учитывая ограничение \( x
   e 3 \), получаем интервал \( (-\infty, 3) \cup (3, 5] \).

Ответ: \( (-\infty, 3) \cup (3, 5] \).