Решите неравенство: \[ \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 1} - \frac{x - 4}{x^2 - 3x + 2} \le 0 \]

Question

Решите неравенство: \[ \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 1} - \frac{x - 4}{x^2 - 3x + 2} \le 0 \]

$Фото задания: Решите неравенство: \[ \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 1} - \frac{x - 4}{x^2 - 3x + 2} \le 0 \]$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Приведём обе дроби к общему знаменателю.

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) $.
Общий знаменатель — $ (x - 1)(x - 2) $.
Приведём первую дробь к общему знаменателю: \[ \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 1} = \frac{(x^2 - 6x + 8)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{x^3 - 2x^2 - 6x^2 + 12x + 8x - 16}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{x^3 - 8x^2 + 20x - 16}{(x - 1)(x - 2)} \]
Теперь вычтем вторую дробь из первой: \[ \frac{x^3 - 8x^2 + 20x - 16}{(x - 1)(x - 2)} - \frac{(x - 4)(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} \le 0 \]
Числитель второй дроби: $ (x - 4)(x - 1) = x^2 - x - 4x + 4 = x^2 - 5x + 4 $.
Объединяем числители: \[ \frac{x^3 - 8x^2 + 20x - 16 - (x^2 - 5x + 4)}{(x - 1)(x - 2)} \le 0 \]
Раскрываем скобки в числителе: \[ \frac{x^3 - 8x^2 + 20x - 16 - x^2 + 5x - 4}{(x - 1)(x - 2)} \le 0 \]
Упрощаем числитель: \[ \frac{x^3 - 9x^2 + 25x - 20}{(x - 1)(x - 2)} \le 0 \]
Найдём корни числителя. Попробуем подставить целые делители свободного члена (-20): ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20.
При $ x = 1 $: $ 1^3 - 9(1)^2 + 25(1) - 20 = 1 - 9 + 25 - 20 = -3 $ (не корень).
При $ x = 2 $: $ 2^3 - 9(2)^2 + 25(2) - 20 = 8 - 36 + 50 - 20 = 2 $ (не корень).
При $ x = 4 $: $ 4^3 - 9(4)^2 + 25(4) - 20 = 64 - 9(16) + 100 - 20 = 64 - 144 + 100 - 20 = 0 $. Значит, $ x = 4 $ — корень числителя.
Разделим числитель $ x^3 - 9x^2 + 25x - 20 $ на $ (x - 4) $ столбиком или по схеме Горнера.
```
     x^2 - 5x + 5
```
```
x-4 | x^3 - 9x^2 + 25x - 20
```
```
     -(x^3 - 4x^2)
```
```
     -----------------
```
```
          -5x^2 + 25x
```
```
         -(-5x^2 + 20x)
```
```
         ----------------
```
```
                 5x - 20
```
```
                -(5x - 20)
```
```
                ----------
```
```
                      0
```
Получаем, что числитель равен $ (x - 4)(x^2 - 5x + 5) $.
Теперь решим $ x^2 - 5x + 5 = 0 $. Дискриминант $ D = (-5)^2 - 4(1)(5) = 25 - 20 = 5 $.
Корни: $ x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} $.
Итак, неравенство принимает вид: \[ \frac{(x - 4)(x - \frac{5 + \sqrt{5}}{2})(x - \frac{5 - \sqrt{5}}{2})}{(x - 1)(x - 2)} \le 0 \]
Отметим на числовой прямой корни числителя и знаменателя: $ \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 - 2.23}{2} \approx 1.38 $, $ \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 + 2.23}{2} \approx 3.62 $, $ 1 $, $ 2 $, $ 4 $.
Расставим знаки на интервалах, начиная с крайнего правого (+):
Интервал $ (4, +\infty) $: $ + $.
Интервал $ (\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, 4) $: $ - $.
Интервал $ (2, \frac{5 + \sqrt{5}}{2}) $: $ + $.
Интервал $ (\frac{5 - \sqrt{5}}{2}, 2) $: $ - $.
Интервал $ (1, \frac{5 - \sqrt{5}}{2}) $: $ + $.
Интервал $ (-\infty, 1) $: $ - $.
Нам нужно, где выражение $ \le 0 $. Значит, берём интервалы со знаком $ - $ и точки, где числитель равен нулю (но не знаменатель).
Корни числителя: $ \frac{5 - \sqrt{5}}{2}, \frac{5 + \sqrt{5}}{2}, 4 $.
Корни знаменателя: $ 1, 2 $ (они не включаются в решение).
Учитывая интервалы и точки: $ (-\infty, 1) \cup [\frac{5 - \sqrt{5}}{2}, 2) \cup [\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, 4] $.

Ответ: $ x \in (-\infty, 1) \cup \left[\frac{5 - \sqrt{5}}{2}, 2\right) \cup \left[\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, 4\right] $.