Решите неравенство: \(\frac{x^2+2x+1}{x^2-4x-5} \geq 0\).

Решение:

Дано неравенство: \(\frac{x^2+2x+1}{x^2-4x-5} \geq 0\).

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.
• Числитель: \( x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \).
• Знаменатель: \( x^2 - 4x - 5 \). Корни квадратного уравнения \( x^2 - 4x - 5 = 0 \) найдём через дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \). \( x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4+6}{2} = 5 \), \( x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4-6}{2} = -1 \). Значит, \( x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1) \).
2. Исходное неравенство примет вид: \(\frac{(x+1)^2}{(x-5)(x+1)} \geq 0\).
3. Сокращаем \( (x+1) \), учитывая, что \( x \neq -1 \). Получаем: \(\frac{x+1}{x-5} \geq 0\) при \( x \neq -1 \).
4. Методом интервалов решаем неравенство \(\frac{x+1}{x-5} \geq 0\):
• Критические точки: \( x = -1 \) и \( x = 5 \).
• Проверим знаки на интервалах:
• Если \( x < -1 \), например \( x = -2 \): \(\frac{-2+1}{-2-5} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7} > 0 \).
• Если \( -1 < x < 5 \), например \( x = 0 \): \(\frac{0+1}{0-5} = \frac{1}{-5} < 0 \).
• Если \( x > 5 \), например \( x = 6 \): \(\frac{6+1}{6-5} = \frac{7}{1} > 0 \).
5. Решение неравенства \(\frac{x+1}{x-5} \geq 0\) — это \( (-\infty, -1] \cup [5, \infty) \).
6. Однако, мы сократили \( x+1 \) при условии \( x \neq -1 \). В исходном неравенстве \( x=-1 \) является допустимым значением, так как числитель обращается в ноль, а знаменатель не равен нулю (при \( x=-1 \), знаменатель равен \( (-1)^2 - 4(-1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0 \), но сам \( x=-1 \) не может быть решением, т.к. знаменатель обращается в ноль).
7. Рассмотрим исходное неравенство \(\frac{(x+1)^2}{(x-5)(x+1)} \geq 0\).
• Если \( x = -1 \), то \(\frac{0}{0}\), что неопределенно.
• Знаменатель \( (x-5)(x+1) \neq 0 \), значит \( x \neq 5 \) и \( x \neq -1 \).
• Числитель \( (x+1)^2 \geq 0 \) всегда.
• Значит, знак неравенства зависит от знаменателя \( (x-5)(x+1) > 0 \), так как \( (x+1)^2 \) всегда положителен (кроме \( x = -1 \)).
• Решаем \( (x-5)(x+1) > 0 \). Критические точки \( x = -1 \) и \( x = 5 \).
• \( x < -1 \): \( (-1-5)(-1+1) = (-6)(0)=0 \) (при \( x=-1 \)).
• \( x < -1 \) → \( (x-5) < 0 \), \( (x+1) < 0 \) → \( (-)(-) > 0 \).
• \( -1 < x < 5 \) → \( (x-5) < 0 \), \( (x+1) > 0 \) → \( (-)(+) < 0 \).
• \( x > 5 \) → \( (x-5) > 0 \), \( (x+1) > 0 \) → \( (+)(+) > 0 \).
• Таким образом, \( (x-5)(x+1) > 0 \) при \( x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty) \).
• Теперь учтем, что \( (x+1)^2 \geq 0 \).
• Если \( x = -1 \), то \( \frac{(-1+1)^2}{(-1-5)(-1+1)} = \frac{0}{0} \), что не является решением.
• Следовательно, \( x \neq -1 \) и \( x \neq 5 \).
• Исходное неравенство \(\frac{(x+1)^2}{(x-5)(x+1)} \geq 0\) эквивалентно \(\frac{x+1}{x-5} \geq 0\) при \( x \neq -1 \).
• Решением \(\frac{x+1}{x-5} \geq 0\) является \( (-\infty, -1] [5, \infty) \).
• Исключая \( x = -1 \) из этого решения, получаем \( (-\infty, -1) [5, \infty) \).
• Но надо учесть, что \( (x+1)^2 \ge 0 \) всегда.
• Если \( x=-1 \), то \( x+1=0 \), \( (x+1)^2=0 \). Знаменатель \( (x-5)(x+1) = (-1-5)(-1+1) = (-6)(0) = 0 \). Деление на ноль недопустимо.
• Значит, \( x \neq -1 \) и \( x \neq 5 \).
• Решаем \(\frac{x+1}{x-5} > 0 \) (так как \( x \neq -1 \), то \( x+1 \neq 0 \) и \( (x+1)^2 > 0 \)).
• \( x+1 > 0 \) и \( x-5 > 0 \) → \( x > -1 \) и \( x > 5 \) → \( x > 5 \).
• \( x+1 < 0 \) и \( x-5 < 0 \) → \( x < -1 \) и \( x < 5 \) → \( x < -1 \).
• Таким образом, \( x \neq -1 \) и \( x \neq 5 \) и \( x \neq -1 \).
• Неравенство \(\frac{x+1}{x-5} \geq 0\) имеет решение \( (-\infty, -1] [5, \infty) \).
• Из-за того, что \( x \neq -1 \) и \( x \neq 5 \), решение будет \( (-\infty, -1) (5, \infty) \).
• Рассмотрим снова \(\frac{(x+1)^2}{(x-5)(x+1)} \geq 0\).
• \( (x+1)^2 \geq 0 \) для всех \( x \).
• Знаменатель \( (x-5)(x+1) \) не должен быть равен нулю, значит \( x \neq 5 \) и \( x \neq -1 \).
• Если \( x \neq -1 \), то \( (x+1)^2 > 0 \).
• Тогда знак неравенства зависит от знака знаменателя \( (x-5)(x+1) \).
• Нам нужно \( \frac{\text{положительное}}{\text{положительное}} \geq 0 \) или \( \frac{0}{\text{положительное}} \geq 0 \).
• \( (x-5)(x+1) > 0 \) → \( x (-\infty, -1) \cup (5, \infty) \).
• \( (x+1)^2 = 0 \) при \( x = -1 \). Но \( x=-1 \) обращает знаменатель в 0, поэтому \( x \neq -1 \).
• Значит, решениями являются \( (-\infty, -1) (5, \infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty) \).