Решите неравенство $$ \frac{9^x + 2 · 3^x - 117}{3^x - 27} \le 1 $$

Решение:

Для решения данного неравенства, сначала приведём его к виду \( f(x) \le 0 \).

$$ \frac{9^x + 2 · 3^x - 117}{3^x - 27} - 1 \le 0 $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{9^x + 2 · 3^x - 117 - (3^x - 27)}{3^x - 27} \le 0 $$

$$ \frac{9^x + 2 · 3^x - 117 - 3^x + 27}{3^x - 27} \le 0 $$

$$ \frac{9^x + 3^x - 90}{3^x - 27} \le 0 $$

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = 3^x \). Тогда \( 9^x = (3^x)^2 = y^2 \). Учитывая, что \( 3^x > 0 \) для любого \( x \), и \( 27 = 3^3 \), получим:

$$ \frac{y^2 + y - 90}{y - 27} \le 0 $$

Найдем корни числителя \( y^2 + y - 90 = 0 \):

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361 \]

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 19}{2} \]

Корни числителя: \( y_1 = \frac{-1 + 19}{2} = 9 \) и \( y_2 = \frac{-1 - 19}{2} = -10 \).

Знаменатель обращается в ноль при \( y = 27 \).

Теперь решим неравенство методом интервалов для \( y \):

$$ \frac{(y - 9)(y + 10)}{y - 27} \le 0 $$

Учитывая, что \( y = 3^x > 0 \), отрицательный корень \( y_2 = -10 \) не имеет смысла в контексте \( 3^x \).

Таким образом, нам нужно решить:

$$ \frac{(y - 9)}{y - 27} \le 0 $$

Рассмотрим интервалы, полученные из корней \( y = 9 \) и \( y = 27 \):

• Интервал \( (0, 9] \) (так как \( y > 0 \) и \( y \le 9 \)):
• Возьмём \( y = 3 \). \( \frac{3 - 9}{3 - 27} = \frac{-6}{-24} = \frac{1}{4} > 0 \). Не подходит.
• Интервал \( [9, 27) \) (так как \( y \ge 9 \) и \( y < 27 \)):
• Возьмём \( y = 10 \). \( \frac{10 - 9}{10 - 27} = \frac{1}{-17} < 0 \). Подходит.
• Интервал \( (27, \infty) \):
• Возьмём \( y = 30 \). \( \frac{30 - 9}{30 - 27} = \frac{21}{3} = 7 > 0 \). Не подходит.

Итак, \( 9 \le y < 27 \).

Подставим обратно \( y = 3^x \):

$$ 9 \le 3^x < 27 $$

Представим числа как степени тройки:

$$ 3^2 \le 3^x < 3^3 $$

Так как основание степени \( 3 > 1 \), неравенство сохраняет направление:

$$ 2 \le x < 3 $$

Ответ: \( [2, 3) \).