Решите неравенство: \(\frac{2x-3}{6} < \frac{4x+1}{7}\) и найдите его наименьшее целочисленное решение.

Решение:

Чтобы решить неравенство \(\frac{2x-3}{6} < \frac{4x+1}{7}\), выполним следующие шаги:

1. Приведём обе части неравенства к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 7 равен 42. Умножим обе части неравенства на 42:
   \( 42 \cdot \frac{2x-3}{6} < 42 \cdot \frac{4x+1}{7} \)
2. Сократим дроби:
   \( 7(2x-3) < 6(4x+1) \)
3. Раскроем скобки:
   \( 14x - 21 < 24x + 6 \)
4. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а свободные члены — в другую. При переносе через знак неравенства знак члена меняется на противоположный:
   \( 14x - 24x < 6 + 21 \)
5. Упростим:
   \( -10x < 27 \)
6. Разделим обе части неравенства на -10. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
   \( x > \frac{27}{-10} \)
   \( x > -2.7 \)

Получили, что \( x \) должен быть больше -2.7. Теперь найдём наименьшее целочисленное решение.

Целые числа, которые больше -2.7, это -2, -1, 0, 1, 2, ...

Наименьшее из этих целых чисел — -2.

Ответ: -2