Решите неравенство \(\(\frac{2x^2-7x-39}{2x+9}\)\(\leq\)0. В ответ запишите наибольшее целое решение неравенства, принадлежащее отрезку [-20; 20].

Решение:

Для решения неравенства \(\frac{2x^2-7x-39}{2x+9}\leq0\) найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя:

Решим квадратное уравнение \(2x^2-7x-39=0\).

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-39) = 49 + 312 = 361\).

\(\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19\).

Корни числителя:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 19}{2 \cdot 2} = \frac{26}{4} = 6.5\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 19}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3\)

2. Корень знаменателя:

\(2x+9=0\)

\(2x = -9\)

\(x = -4.5\)

3. Метод интервалов:

Отметим корни на числовой оси: -4.5, -3, 6.5. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \(x \neq -4.5\).

Расставим знаки на интервалах:

• При \(x > 6.5\) (например, \(x=7\)): \(\frac{2(7)^2-7(7)-39}{2(7)+9} = \frac{98-49-39}{14+9} = \frac{10}{23} > 0\)
• При \(-3 < x < 6.5\) (например, \(x=0\)): \(\frac{-39}{9} < 0\)
• При \(-4.5 < x < -3\) (например, \(x=-4\)): \(\frac{2(-4)^2-7(-4)-39}{2(-4)+9} = \frac{32+28-39}{-8+9} = \frac{21}{1} > 0\)
• При \(x < -4.5\) (например, \(x=-5\)): \(\frac{2(-5)^2-7(-5)-39}{2(-5)+9} = \frac{50+35-39}{-10+9} = \frac{46}{-1} < 0\)

Неравенство \(\leq0\) выполняется на интервалах \((-\infty; -4.5)\) и \([-3; 6.5]\).

4. Выбор наибольшего целого решения:

Нас интересует отрезок \([-20; 20]\).

На интервале \((-\infty; -4.5)\) целые решения: \(-20, -19, ..., -5\).

На интервале \([-3; 6.5]\) целые решения: \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\).

Наибольшее целое решение из всех найденных — это \(6\).

Ответ: 6