Решите неравенство: \(\frac{1}{\log_6(6x^2-6x+1)}\geq\frac{1}{\log_2(2-5x)}+\\log_{2-5x}3\).

ОДЗ: \(6x^2-6x+1>0\), \(2-5x>0\), \(2-5x\ne1\), а также основания логарифмов не равны 1.

Преобразуем левую часть:

\[\frac{1}{\log_6(6x^2-6x+1)}=\log_{6x^2-6x+1}6.\]

Положим \(t=2-5x\). Тогда \(x=\frac{2-t}{5}\), и

\[6x^2-6x+1=\frac{6t^2-54t+91}{25}.\]

Неравенство принимает вид

\[\log_{\frac{6t^2-54t+91}{25}}6\geq\log_t2+\log_t3=\log_t6.\]

При допустимых значениях \(t>0\), \(t\ne1\). Учитывая изменение направления при основаниях, после решения получаем \(0

\[0<2-5x<1.\]

Следовательно,

\[\frac15

Ответ: \(x\in\left(\frac15,\frac25\right)\).