Решите неравенство (7x-5)² ≤ (5x-7)².

Решение неравенства

Перед нами неравенство: \( (7x-5)^2 \le (5x-7)^2 \).

Шаг 1: Перенесём всё в одну сторону

Вычтем \( (5x-7)^2 \) из обеих частей неравенства:

\[ (7x-5)^2 - (5x-7)^2 \le 0 \]

Шаг 2: Применим формулу разности квадратов

Формула разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).

В нашем случае \( a = (7x-5) \) и \( b = (5x-7) \).

Подставляем в формулу:

\[ ((7x-5) - (5x-7))((7x-5) + (5x-7)) \le 0 \]

Шаг 3: Упростим выражения в скобках

Первая скобка:

\[ (7x-5) - (5x-7) = 7x - 5 - 5x + 7 = 2x + 2 \]

Вторая скобка:

\[ (7x-5) + (5x-7) = 7x - 5 + 5x - 7 = 12x - 12 \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ (2x + 2)(12x - 12) \le 0 \]

Шаг 4: Вынесем общие множители

Из первой скобки вынесем 2, из второй — 12:

\[ 2(x + 1) \cdot 12(x - 1) \le 0 \]

\[ 24(x + 1)(x - 1) \le 0 \]

Разделим обе части на 24 (положительное число, знак неравенства не меняется):

\[ (x + 1)(x - 1) \le 0 \]

Шаг 5: Найдем корни уравнения \( (x + 1)(x - 1) = 0 \)

Корни: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 1 \).

Шаг 6: Определим знак произведения на интервалах

Числовая прямая разбивается на три интервала: \( (-\infty; -1] \), \( [-1; 1] \) и \( [1; \infty) \).

Проверим знак выражения \( (x + 1)(x - 1) \) в каждом интервале:

• При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( (-2 + 1)(-2 - 1) = (-1)(-3) = 3 > 0 \)
• При \( -1 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 + 1)(0 - 1) = (1)(-1) = -1 < 0 \)
• При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( (2 + 1)(2 - 1) = (3)(1) = 3 > 0 \)

Шаг 7: Выберем подходящий интервал

Нам нужно, чтобы выражение было \( \le 0 \), то есть отрицательным или равным нулю. Это происходит на интервале \( [-1; 1] \).

Ответ: \( x \in [-1; 1] \).