Решите неравенство \( (5 - \sqrt{26})x < 51 - 10\sqrt{26} \) и укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству.

Решение:

Данное неравенство:

\[ (5 - \sqrt{26})x < 51 - 10\sqrt{26} \]

Заметим, что \( 5 - \sqrt{26} \) является отрицательным числом, так как \( \sqrt{26} > \sqrt{25} = 5 \). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Найдем выражение \( 51 - 10\sqrt{26} \) в виде квадрата разности:

\[ 51 - 10\sqrt{26} = 26 - 10\sqrt{26} + 25 = (\sqrt{26})^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{26} + 5^2 = (\sqrt{26} - 5)^2 \]

Теперь неравенство примет вид:

\[ (5 - \sqrt{26})x < (\sqrt{26} - 5)^2 \]

Так как \( 5 - \sqrt{26} = -(\sqrt{26} - 5) \), можем переписать:

\[ -(\sqrt{26} - 5)x < (\sqrt{26} - 5)^2 \]

Разделим обе части на \( \sqrt{26} - 5 \) (это положительное число, поэтому знак неравенства не меняется):

\[ -x < \sqrt{26} - 5 \]

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

\[ x > 5 - \sqrt{26} \]

Приближенное значение \( \sqrt{26} \) составляет около \( 5.099 \).

Тогда \( 5 - \sqrt{26} \approx 5 - 5.099 = -0.099 \).

Итак, \( x > -0.099 \).

Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 0.

Ответ: 0