Решите неравенство: (3 – 4x)(2x - 5) < 0

Привет! Давай решим это неравенство вместе.

1. Находим корни каждого множителя:

Приравниваем каждый множитель к нулю:

• 3 - 4x = 0
  3 = 4x
  x = 3/4
• 2x - 5 = 0
  2x = 5
  x = 5/2

Итак, наши корни: x = 3/4 и x = 5/2.

2. Определяем знаки интервалов:

Нам нужно выяснить, каким будет знак выражения (3 - 4x)(2x - 5) на промежутках, которые образуются этими корнями на числовой прямой. Расставим корни в порядке возрастания: 3/4 (0.75) и 5/2 (2.5).

Числовая прямая разбивается на три промежутка:

• (-∞; 3/4)
• (3/4; 5/2)
• (5/2; +∞)

Теперь возьмем любое число из каждого промежутка и подставим в исходное выражение, чтобы определить знак:

• Промежуток (-∞; 3/4): Возьмем x = 0.
  (3 - 4*0)(2*0 - 5) = (3)(-5) = -15. Знак: -
• Промежуток (3/4; 5/2): Возьмем x = 1.
  (3 - 4*1)(2*1 - 5) = (-1)(-3) = 3. Знак: +
• Промежуток (5/2; +∞): Возьмем x = 3.
  (3 - 4*3)(2*3 - 5) = (-9)(1) = -9. Знак: -

3. Выбираем нужные интервалы:

Нас интересуют значения, где выражение (3 - 4x)(2x - 5) < 0, то есть где знак минус (-).

Это промежутки: (-∞; 3/4) и (5/2; +∞).

4. Записываем ответ:

Ответ: x ∈ (-∞; 3/4) ∪ (5/2; +∞)