Решите неравенство: 25^x - 20^x - 2 * 16^x <= 0.

Решение:

Данное неравенство является однородным неравенством второй степени относительно \( 5^x \) и \( 4^x \).

Разделим обе части неравенства на \( 16^x \) (так как \( 16^x > 0 \) для любого \( x \) ):

\( \frac{25^x}{16^x} - \frac{20^x}{16^x} - 2 \frac{16^x}{16^x} \le 0 \)

\( \left(\frac{25}{16}\right)^x - \left(\frac{20}{16}\right)^x - 2 \le 0 \)

\( \left(\frac{5}{4}\right)^{2x} - \left(\frac{5}{4}\right)^x - 2 \le 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \left(\frac{5}{4}\right)^x \). Так как \( \frac{5}{4} > 1 \), то \( t > 0 \).

Получим квадратное неравенство относительно \( t \):

\( t^2 - t - 2 \le 0 \)

Найдем корни соответствующего уравнения \( t^2 - t - 2 = 0 \):

\( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

\( t_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)

\( t_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)

Так как парабола \( y = t^2 - t - 2 \) направлена ветвями вверх, то неравенство \( t^2 - t - 2 \le 0 \) выполняется при \( -1 \le t \le 2 \).

Учитывая условие \( t > 0 \), получаем \( 0 < t \le 2 \).

Вернемся к исходной переменной \( x \):

\( 0 < \left(\frac{5}{4}\right)^x \le 2 \)

Первая часть неравенства \( \left(\frac{5}{4}\right)^x > 0 \) выполняется всегда, так как показательная функция с положительным основанием всегда положительна.

Решим вторую часть неравенства \( \left(\frac{5}{4}\right)^x \le 2 \).

Применим логарифм по основанию \( \frac{5}{4} \) (так как \( \frac{5}{4} > 1 \), знак неравенства сохраняется):

\( x \le \log_{\frac{5}{4}} 2 \)

Таким образом, решение неравенства — \( x \le \log_{\frac{5}{4}} 2 \).

Это можно записать как \( x \le \frac{\ln 2}{\ln (5/4)} \) или \( x \le \frac{\log 2}{\log 5 - \log 4} \).

Ответ: \( x \le \log_{\frac{5}{4}} 2 \).