Решите неравенство 16x²-8x+1 / 4x²+19x−5 ≤ 0.

1. Найдем корни числителя: $$16x^2 - 8x + 1 = 0$$. Дискриминант $$D = (-8)^2 - 4 imes 16 imes 1 = 64 - 64 = 0$$. Корень $$x = 8 / (2 imes 16) = 8 / 32 = 1/4$$.

2. Найдем корни знаменателя: $$4x^2 + 19x - 5 = 0$$. Дискриминант $$D = 19^2 - 4 imes 4 imes (-5) = 361 + 80 = 441$$. Корни $$x_1 = (-19 - \sqrt{441}) / (2 imes 4) = (-19 - 21) / 8 = -40 / 8 = -5$$. $$x_2 = (-19 + 21) / 8 = 2 / 8 = 1/4$$.

3. Метод интервалов: Знаменатель обращается в ноль при $$x = -5$$ и $$x = 1/4$$. Числитель обращается в ноль при $$x = 1/4$$. Учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю, $$x eq -5$$ и $$x eq 1/4$$. Рассмотрим знаки дроби на интервалах $$(-\infty, -5)$$, $$(-5, 1/4)$$, $$(1/4, \infty)$$. Дробь отрицательна на интервале $$(-5, 1/4)$$. Так как неравенство нестрогое, и числитель равен нулю при $$x=1/4$$, но знаменатель тоже равен нулю при $$x=1/4$$, то $$x=1/4$$ не входит в решение. Таким образом, решение: $$x ∈ (-5, 1/4)$$.