Решите неравенство: (117 - 15 * 3^x) / (9^x - 36 * 3^x + 243) <= 1

Решение:

Обозначим \( y = 3^x \). Так как \( y = 3^x > 0 \) для всех \( x \), то \( y \) всегда положительно. Заменим \( 9^x \) на \( (3^x)^2 = y^2 \).

Неравенство примет вид:

\[ \frac{117 - 15y}{y^2 - 36y + 243} \le 1 \]

Перенесём 1 в левую часть:

\[ \frac{117 - 15y}{y^2 - 36y + 243} - 1 \le 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{117 - 15y - (y^2 - 36y + 243)}{y^2 - 36y + 243} \le 0 \]

Упростим числитель:

\[ \frac{117 - 15y - y^2 + 36y - 243}{y^2 - 36y + 243} \le 0 \]

\( \frac{-y^2 + 21y - 126}{y^2 - 36y + 243} \le 0 \)

Умножим числитель и знаменатель на -1, сменив знак неравенства:

\[ \frac{y^2 - 21y + 126}{y^2 - 36y + 243} \ge 0 \]

Найдем корни числителя \( y^2 - 21y + 126 = 0 \). Дискриминант \( D = (-21)^2 - 4 1 126 = 441 - 504 = -63 \). Так как \( D < 0 \) и старший коэффициент \( y^2 \) положителен, числитель \( y^2 - 21y + 126 \) всегда положителен.

Теперь разложим знаменатель на множители: \( y^2 - 36y + 243 = 0 \).

Найдем корни знаменателя. Дискриминант \( D = (-36)^2 - 4 1 243 = 1296 - 972 = 324 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{324} = 18 \).

\( y_1 = \frac{36 - 18}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).

\( y_2 = \frac{36 + 18}{2} = \frac{54}{2} = 27 \).

Знаменатель имеет вид \( (y - 9)(y - 27) \).

Неравенство примет вид:

\[ \frac{\text{положительный числитель}}{(y - 9)(y - 27)} \ge 0 \]

Так как числитель всегда положителен, нам нужно, чтобы знаменатель был положителен:

\[ (y - 9)(y - 27) > 0 \]

Это неравенство выполняется при \( y < 9 \) или \( y > 27 \).

Теперь вернёмся к переменной \( x \), где \( y = 3^x \):

1. \( 3^x < 9 \)

\( 3^x < 3^2 \)

\( x < 2 \)

1. \( 3^x > 27 \)

\( 3^x > 3^3 \)

\( x > 3 \)

Учитывая, что \( y = 3^x \) всегда больше 0, а корни \( y=9 \) и \( y=27 \) не могут быть в знаменателе, решение неравенства:

\[ x < 2 \quad \text{или} \quad x > 3 \]

Ответ: \( x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) \).