Решите неравенство 1/x + 1/(x+a) > 0 при a > 0 Выберите один ответ: a. x ∈ (0,−a/2) ∪ (−a, +∞) b. x ∈ (0, +∞) c. нет верных ответов d. x ∈ (-a, -a/2) ∪ (0, +∞)

Решение:

Приведём неравенство к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+a} > 0 \]\[ \frac{x+a+x}{x(x+a)} > 0 \]\[ \frac{2x+a}{x(x+a)} > 0 \]

Рассмотрим три случая, учитывая, что \( a > 0 \).

1. Случай 1: Числитель и знаменатель положительны.




• \( 2x+a > 0 \rightarrow x > -a/2 \)


• \( x(x+a) > 0 \)





Если \( x > 0 \), то \( x+a > 0 \), следовательно \( x(x+a) > 0 \). В этом случае \( x > 0 \) и \( x > -a/2 \), что даёт \( x > 0 \).




Если \( x < -a \), то \( x+a < 0 \), следовательно \( x(x+a) > 0 \). В этом случае \( x < -a \) и \( x > -a/2 \). Это противоречие, поэтому решений нет.



2. Случай 2: Числитель и знаменатель отрицательны.




• \( 2x+a < 0 \rightarrow x < -a/2 \)


• \( x(x+a) < 0 \)





Из \( x(x+a) < 0 \) следует, что \( -a < x < 0 \).




Объединяя \( x < -a/2 \) и \( -a < x < 0 \), получаем \( -a < x < -a/2 \).



3. Объединение решений:



Объединяя решения из обоих случаев, получаем \( x \in (-a, -a/2) \cup (0, +\infty) \).

Сравним полученный ответ с предложенными вариантами.

Вариант d.: \( x \in (-a, -a/2) \cup (0, +\infty) \).

Ответ: d.