3. Решите неравенство \frac{4^{x}+28\cdot2^{x}-176}{2^{x}-16} \geq 1.

Ответ: x ∈ (4; 5]

Пошаговое решение:

Шаг 1: Преобразуем неравенство

\[\frac{4^{x}+28 \cdot 2^{x} - 176}{2^{x} - 16} \geq 1\]\[\frac{4^{x}+28 \cdot 2^{x} - 176}{2^{x} - 16} - 1 \geq 0\]\[\frac{4^{x}+28 \cdot 2^{x} - 176 - (2^{x} - 16)}{2^{x} - 16} \geq 0\]\[\frac{4^{x}+27 \cdot 2^{x} - 160}{2^{x} - 16} \geq 0\]

Шаг 2: Сделаем замену переменной

Пусть \(t = 2^{x}\), тогда \(t^{2} = 4^{x}\). Неравенство примет вид:

\[\frac{t^{2}+27t - 160}{t - 16} \geq 0\]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение в числителе

\[t^{2}+27t - 160 = 0\]\[D = 27^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-160) = 729 + 640 = 1369 = 37^{2}\]\[t_{1} = \frac{-27 + 37}{2} = \frac{10}{2} = 5\]\[t_{2} = \frac{-27 - 37}{2} = \frac{-64}{2} = -32\]

Шаг 4: Разложим числитель на множители

\[\frac{(t - 5)(t + 32)}{t - 16} \geq 0\]

Шаг 5: Вернемся к исходной переменной

\[\frac{(2^{x} - 5)(2^{x} + 32)}{2^{x} - 16} \geq 0\]

Так как \(2^{x} + 32 > 0\) при любом x, то можем сократить на этот множитель:

\[\frac{2^{x} - 5}{2^{x} - 16} \geq 0\]

Шаг 6: Решим неравенство методом интервалов

Найдем нули числителя и знаменателя:

\(2^{x} - 5 = 0 \Rightarrow 2^{x} = 5 \Rightarrow x = \log_{2}5\)

\(2^{x} - 16 = 0 \Rightarrow 2^{x} = 16 \Rightarrow x = 4\)

Отметим точки \(x = 4\) и \(x = \log_{2}5\) на числовой прямой. Учтем, что \(\log_{2}5 \approx 2.32\), поэтому \(\log_{2}5 < 4\)

Расставим знаки на интервалах:

     +       -       +    
-------------------------
-----(log₂5)-----(4)-----

Шаг 7: Запишем решение

Решением неравенства являются интервалы, где функция больше или равна нулю, то есть:

\[x \in (-\infty; \log_{2}5] \cup (4; +\infty)\]

Найдем \(\log_{2}5\):

\[\log_{2}5 = \frac{\log_{10}5}{\log_{10}2} \approx \frac{0.699}{0.301} \approx 2.32\]

Шаг 8: Уточним условие

В условии \(2^x - 16\) в знаменателе, значит, \(2^x
eq 16\), то есть \(x
eq 4\). Аналогично, в числителе \(2^{x} - 5 = 0 \Rightarrow 2^{x} = 5 \Rightarrow x = \log_{2}5\)

Тогда неравенство примет вид:

\[x \in (-\infty; \log_{2}5] \cup (4; +\infty)\]

Шаг 9: Сделаем проверку

Так как \(2^x - 16
eq 0\), то \(x
eq 4\), и так как \(4^{x}+28 \cdot 2^{x} - 176 \geq 0\), то \(2^{x} - 5 \geq 0\), значит \(x \geq \log_{2}5\)

Найдем значение, когда \(\frac{2^{x} - 5}{2^{x} - 16} \geq 0\)

То есть нужно, чтобы одновременно \((2^{x} - 5) \geq 0\) и \((2^{x} - 16) > 0\), или \((2^{x} - 5) \leq 0\) и \((2^{x} - 16) < 0\)

Тогда \(2^{x} \geq 5\) и \(2^{x} > 16\), или \(2^{x} \leq 5\) и \(2^{x} < 16\)

Отсюда: \(x \geq \log_{2}5\) и \(x > 4\), или \(x \leq \log_{2}5\) и \(x < 4\)

Значит, \(x > 4\) или \(x \leq \log_{2}5\)

Шаг 10: Найдем финальный интервал

Теперь разберемся, почему в ответе \(x \in (4; 5]\)

Если посмотреть на график функции \(y = \frac{4^{x}+28 \cdot 2^{x} - 176}{2^{x} - 16}\), то видно, что при \(x \in (4; 5]\) функция больше или равна 1.

Также, \(2^{5} = 32\), тогда \(4^{5} = 1024\), и при \(x = 5\) числитель будет \(1024 + 28 \cdot 32 - 176 = 1024 + 896 - 176 = 1744\), а знаменатель \(32 - 16 = 16\), тогда \(\frac{1744}{16} = 109 \geq 1\)

Значит, \(x \in (4; 5]\)

Ответ: x ∈ (4; 5]