Решите неравенство \( \frac{x^2+10x+25}{x^2+4x-5} \ge 0 \).

Пошаговое решение:

• Разложим числитель на множители: \( x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2 \).
• Разложим знаменатель на множители: \( x^2 + 4x - 5 = (x+5)(x-1) \).
• Исходное неравенство можно переписать как: \( \frac{(x+5)^2}{(x+5)(x-1)} \ge 0 \).
• Сократим дробь: \( \frac{x+5}{x-1} \ge 0 \), при условии, что \( x
  e -5 \).
• Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

• \( x+5 = 0 \Rightarrow x = -5 \)
• \( x-1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)

• Отметим точки на числовой прямой. Точка \( x=-5 \) исключается, т.к. на нее сокращали дробь, точка \( x=1 \) исключается, т.к. знаменатель не может быть равен нулю.
• Определим знаки на интервалах:

• \( x < -5 \): \( \frac{-}{-} > 0 \) (положительный)
• \( -5 < x < 1 \): \( \frac{+}{-} < 0 \) (отрицательный)
• \( x > 1 \): \( \frac{+}{+} > 0 \) (положительный)

• Учитывая условие \( \ge 0 \), выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 1) \cup (1; +\infty) \)