Решите неравенство \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложение на множители числителя и знаменателя
• Числитель: \(25x^2 - 10x + 1 = (5x - 1)^2\)
• Знаменатель: \(5x^2 + 9x - 2 = 0\). Найдем корни квадратного уравнения \(5x^2 + 9x - 2 = 0\):
  Дискриминант: \(D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121\)
  Корни: \(x_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = 0.2\)
  \(x_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2\)
  Знаменатель: \(5x^2 + 9x - 2 = 5(x - 0.2)(x + 2)\)
2. Шаг 2: Запись неравенства в виде произведения

Неравенство принимает вид: \(\frac{(5x - 1)^2}{5(x - 0.2)(x + 2)} \le 0\)

3. Шаг 3: Анализ неравенства

Так как \((5x - 1)^2\) всегда неотрицательно, то неравенство выполняется, когда \((x - 0.2)(x + 2) < 0\) и \(x
e 0.2\), так как в этой точке знаменатель обращается в ноль.

4. Шаг 4: Решение неравенства методом интервалов

Корни: \(x = 0.2\) и \(x = -2\). Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах.

Интервалы:
1) \(x < -2\): \((x - 0.2) < 0\), \((x + 2) < 0\), значит, \((x - 0.2)(x + 2) > 0\)
2) \(-2 < x < 0.2\): \((x - 0.2) < 0\), \((x + 2) > 0\), значит, \((x - 0.2)(x + 2) < 0\)
3) \(x > 0.2\): \((x - 0.2) > 0\), \((x + 2) > 0\), значит, \((x - 0.2)(x + 2) > 0\)

5. Шаг 5: Учет условия \((5x-1)^2 = 0\)

Если \((5x - 1)^2 = 0\), то \(x = \frac{1}{5} = 0.2\). В этой точке числитель равен нулю, но знаменатель также равен нулю, поэтому \(x = 0.2\) исключается.

6. Шаг 6: Запись ответа

Решение: \((-2; 0.2)\). Но нужно еще учесть, что при \(x = 0.2\) числитель равен нулю, но знаменатель тоже равен нулю, так что \(x = 0.2\) не входит в решение.

Однако, исходное неравенство \(\frac{(5x - 1)^2}{5(x - 0.2)(x + 2)} \le 0\). В точке \(x = 0.2\) мы имеем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), но так как нас интересует, где выражение меньше или равно нулю, нужно проверить, является ли точка \(x = 0.2\) решением. При \(x = 0.2\) выражение не определено.

Ответ: \(x \in (-2; 0.2)\)