Решите неравенство \(\frac{4^x - 1}{4^x - 7} > \frac{4^x + 2}{4^x - 4}\).

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Перенесем все в левую часть: \[\frac{4^x - 1}{4^x - 7} - \frac{4^x + 2}{4^x - 4} > 0\]
• Шаг 2: Приведем к общему знаменателю: \[\frac{(4^x - 1)(4^x - 4) - (4^x + 2)(4^x - 7)}{(4^x - 7)(4^x - 4)} > 0\]
• Шаг 3: Раскроем скобки и упростим числитель: \[\frac{(4^{2x} - 4 \cdot 4^x - 4^x + 4) - (4^{2x} - 7 \cdot 4^x + 2 \cdot 4^x - 14)}{(4^x - 7)(4^x - 4)} > 0\] \[\frac{4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 4 - 4^{2x} + 5 \cdot 4^x + 14}{(4^x - 7)(4^x - 4)} > 0\] \[\frac{18}{(4^x - 7)(4^x - 4)} > 0\]
• Шаг 4: Так как числитель всегда положителен, знак дроби определяется знаком знаменателя: \[(4^x - 7)(4^x - 4) > 0\]
• Шаг 5: Найдем нули знаменателя: \[4^x - 7 = 0 \Rightarrow 4^x = 7 \Rightarrow x = \log_4{7} = \frac{\log_2{7}}{\log_2{4}} = \frac{\log_2{7}}{2} = 0.5 \log_2{7}\] \[4^x - 4 = 0 \Rightarrow 4^x = 4 \Rightarrow x = 1\]
• Шаг 6: Решим неравенство методом интервалов. Отметим точки \(x = 1\) и \(x = 0.5 \log_2{7}\) на числовой прямой. Т.к. \(7>4\), то \(\log_4 7 > 1\), значит \(0.5 \log_2{7} > 1\).
• Шаг 7: Определим знаки на интервалах: Интервалы: \((-\infty; 1)\), \((1; 0.5 \log_2{7})\), \((0.5 \log_2{7}; +\infty)\). Возьмем \(x = 0\): \((4^0 - 7)(4^0 - 4) = (-6)(-3) = 18 > 0\). Возьмем \(x = 1.5\): \((4^{1.5} - 7)(4^{1.5} - 4) = (8 - 7)(8 - 4) = 4 > 0\). Возьмем \(x = 3\): \((4^3 - 7)(4^3 - 4) = (64 - 7)(64 - 4) = 57 \cdot 60 > 0\). Значит, на всех интервалах знак «+».
• Шаг 8: Выберем интервалы, где выражение больше нуля: \[x \in (-\infty; 1) \cup (0.5 \log_2{7}; +\infty)\]

Ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (0.5 \log_2{7}; +\infty)\)