Контрольные задания > 180. Решите неравенства: а) x²-10x≥0; б) x²-12x<0; в) 7x²+14x≤0; г) 9x²+54x>0; д) 15x²-60x≤0; е) 5x-10x²<0; ж) -3x²-24x<0; з) 7x+x²>0; и) x²≤25x; к) -4x>x²; л) 80x-5x²>0; м) 2x²-34x≥0.
Вопрос:

180. Решите неравенства: а) x²-10x≥0; б) x²-12x<0; в) 7x²+14x≤0; г) 9x²+54x>0; д) 15x²-60x≤0; е) 5x-10x²<0; ж) -3x²-24x<0; з) 7x+x²>0; и) x²≤25x; к) -4x>x²; л) 80x-5x²>0; м) 2x²-34x≥0.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение неравенств:

Разбираемся с каждым неравенством по порядку:

а) x² - 10x ≥ 0

Краткое пояснение: Вынесем x за скобки и решим неравенство методом интервалов.
  1. Вынесем x за скобки: \[x(x - 10) ≥ 0\]
  2. Найдем нули функции: \[x = 0, \quad x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10\]
  3. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на интервалах:
    +       -       +
----(0)----(10)---->

Решением являются интервалы, где функция больше или равна нулю.

Ответ: \[x \in (-\infty; 0] \cup [10; +\infty)\]

б) x² - 12x < 0

Краткое пояснение: Аналогично предыдущему случаю, выносим x за скобки и используем метод интервалов.
  1. Вынесем x за скобки: \[x(x - 12) < 0\]
  2. Найдем нули функции: \[x = 0, \quad x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12\]
  3. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на интервалах:
    +       -       +
----(0)----(12)---->

Решением является интервал, где функция меньше нуля.

Ответ: \[x \in (0; 12)\]

в) 7x² + 14x ≤ 0

Краткое пояснение: Выносим 7x за скобки и применяем метод интервалов.
  1. Вынесем 7x за скобки: \[7x(x + 2) ≤ 0\]
  2. Найдем нули функции: \[7x = 0 \Rightarrow x = 0, \quad x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\]
  3. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на интервалах:
    +       -       +
---(-2)----(0)---->

Решением является интервал, где функция меньше или равна нулю.

Ответ: \[x \in [-2; 0]\]

г) 9x² + 54x > 0

Краткое пояснение: Выносим 9x за скобки и используем метод интервалов.
  1. Вынесем 9x за скобки: \[9x(x + 6) > 0\]
  2. Найдем нули функции: \[9x = 0 \Rightarrow x = 0, \quad x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6\]
  3. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на интервалах:
    +       -       +
---(-6)----(0)---->

Решением являются интервалы, где функция больше нуля.

Ответ: \[x \in (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)\]

д) 15x² - 60x ≤ 0

Краткое пояснение: Выносим 15x за скобки и решаем неравенство методом интервалов.
  1. Вынесем 15x за скобки: \[15x(x - 4) ≤ 0\]
  2. Найдем нули функции: \[15x = 0 \Rightarrow x = 0, \quad x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\]
  3. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на интервалах:
    +       -       +
----(0)----(4)---->

Решением является интервал, где функция меньше или равна нулю.

Ответ: \[x \in [0; 4]\]

е) 5x - 10x² < 0

Краткое пояснение: Выносим 5x за скобки и используем метод интервалов.
  1. Вынесем 5x за скобки: \[5x(1 - 2x) < 0\]
  2. Найдем нули функции: \[5x = 0 \Rightarrow x = 0, \quad 1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\]
  3. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на интервалах:
    +       -       +
----(0)----(1/2)---->

Решением являются интервалы, где функция меньше нуля.

Ответ: \[x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)\]

ж) -3x² - 24x < 0

Краткое пояснение: Выносим -3x за скобки и решаем неравенство методом интервалов.
  1. Вынесем -3x за скобки: \[-3x(x + 8) < 0\]
  2. Найдем нули функции: \[-3x = 0 \Rightarrow x = 0, \quad x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8\]
  3. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на интервалах:
    -       +       -
---(-8)----(0)---->

Решением являются интервалы, где функция меньше нуля.

Ответ: \[x \in (-\infty; -8) \cup (0; +\infty)\]

з) 7x + x² > 0

Краткое пояснение: Выносим x за скобки и используем метод интервалов.
  1. Вынесем x за скобки: \[x(7 + x) > 0\]
  2. Найдем нули функции: \[x = 0, \quad 7 + x = 0 \Rightarrow x = -7\]
  3. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на интервалах:
    +       -       +
---(-7)----(0)---->

Решением являются интервалы, где функция больше нуля.

Ответ: \[x \in (-\infty; -7) \cup (0; +\infty)\]

и) x² ≤ 25x

Краткое пояснение: Перенесем все в одну сторону, вынесем x за скобки и решим неравенство методом интервалов.
  1. Перенесем все в одну сторону: \[x² - 25x ≤ 0\]
  2. Вынесем x за скобки: \[x(x - 25) ≤ 0\]
  3. Найдем нули функции: \[x = 0, \quad x - 25 = 0 \Rightarrow x = 25\]
  4. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на интервалах:
    +       -       +
----(0)----(25)---->

Решением является интервал, где функция меньше или равна нулю.

Ответ: \[x \in [0; 25]\]

к) -4x > x²

Краткое пояснение: Перенесем все в одну сторону, вынесем x за скобки и используем метод интервалов.
  1. Перенесем все в одну сторону: \[x² + 4x < 0\]
  2. Вынесем x за скобки: \[x(x + 4) < 0\]
  3. Найдем нули функции: \[x = 0, \quad x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\]
  4. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на интервалах:
    +       -       +
---(-4)----(0)---->

Решением является интервал, где функция меньше нуля.

Ответ: \[x \in (-4; 0)\]

л) 80x - 5x² > 0

Краткое пояснение: Выносим 5x за скобки и решаем неравенство методом интервалов.
  1. Вынесем 5x за скобки: \[5x(16 - x) > 0\]
  2. Найдем нули функции: \[5x = 0 \Rightarrow x = 0, \quad 16 - x = 0 \Rightarrow x = 16\]
  3. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на интервалах:
    -       +       -
----(0)----(16)---->

Решением являются интервалы, где функция больше нуля.

Ответ: \[x \in (0; 16)\]

м) 2x² - 34x ≥ 0

Краткое пояснение: Выносим 2x за скобки и используем метод интервалов.
  1. Вынесем 2x за скобки: \[2x(x - 17) ≥ 0\]
  2. Найдем нули функции: \[2x = 0 \Rightarrow x = 0, \quad x - 17 = 0 \Rightarrow x = 17\]
  3. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на интервалах:
    +       -       +
----(0)----(17)---->

Решением являются интервалы, где функция больше или равна нулю.

Ответ: \[x \in (-\infty; 0] \cup [17; +\infty)\]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно определил знаки на интервалах и выбрал нужные интервалы в зависимости от знака неравенства.

Доп. профит: Метод интервалов - мощный инструмент для решения неравенств. Практикуйся больше, чтобы уверенно его применять!

ГДЗ по фото 📸

Похожие