Решите неравенства a) log0,5 x > log2 (3 – 2x); б) logπ (x + 1) + logπ x < logπ 2; в) lg x + lg(x - 1) < lg 6; г) log2 (x² − x − 12) < 3.

Решение:

а) log_0,5 x > log₂ (3 – 2x);

• Для начала, определим область допустимых значений (ОДЗ):
• $$x > 0$$
• $$3 - 2x > 0 \Rightarrow 2x < 3 \Rightarrow x < \frac{3}{2}$$
• Объединяя условия, получаем: $$0 < x < \frac{3}{2}$$.
• Преобразуем логарифм по основанию 0,5 к основанию 2: $$log_{0,5} x = \frac{log_2 x}{log_2 0,5} = \frac{log_2 x}{-1} = -log_2 x$$.
• Неравенство примет вид: $$-log_2 x > log_2 (3 - 2x)$$.
• Перенесем все в одну сторону: $$log_2 (3 - 2x) + log_2 x < 0$$.
• Используем свойство логарифмов $$log_a b + log_a c = log_a (b \cdot c)$$: $$log_2 ((3 - 2x) \cdot x) < 0$$.
• $$log_2 (3x - 2x^2) < 0$$.
• Поскольку основание логарифма $$2 > 1$$, снимаем логарифм, сохраняя знак неравенства: $$3x - 2x^2 < 2^0$$.
• $$3x - 2x^2 < 1$$.
• $$2x^2 - 3x + 1 > 0$$.
• Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $$2x^2 - 3x + 1 = 0$$:
• $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$$.
• $$x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$$.
• $$x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$.
• Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола направлена ветвями вверх. Неравенство $$2x^2 - 3x + 1 > 0$$ выполняется при $$x < 0,5$$ или $$x > 1$$.
• Теперь учтем ОДЗ: $$0 < x < \frac{3}{2}$$ (или $$0 < x < 1,5$$).
• Пересечение интервалов: $$(0 < x < 0,5)$$ и $$(1 < x < 1,5)$$.

б) log_π (x + 1) + log_π x < log_π 2;

• ОДЗ:
• $$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$$
• $$x > 0$$
• Объединяя условия, получаем: $$x > 0$$.
• Используем свойство логарифмов: $$log_a b + log_a c = log_a (b \cdot c)$$.
• $$log_π ((x + 1) \cdot x) < log_π 2$$.
• $$log_π (x^2 + x) < log_π 2$$.
• Поскольку основание логарифма $$π \approx 3,14 > 1$$, снимаем логарифм, сохраняя знак неравенства: $$x^2 + x < 2$$.
• $$x^2 + x - 2 < 0$$.
• Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $$x^2 + x - 2 = 0$$:
• $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$.
• $$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$$.
• $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$.
• Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола направлена ветвями вверх. Неравенство $$x^2 + x - 2 < 0$$ выполняется при $$-2 < x < 1$$.
• Теперь учтем ОДЗ: $$x > 0$$.
• Пересечение интервалов: $$0 < x < 1$$.

в) lg x + lg(x - 1) < lg 6;

• ОДЗ:
• $$x > 0$$
• $$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$$
• Объединяя условия, получаем: $$x > 1$$.
• Используем свойство логарифмов: $$lg x + lg(x - 1) = lg(x \cdot (x - 1))$$.
• $$lg(x^2 - x) < lg 6$$.
• Поскольку основание логарифма $$10 > 1$$, снимаем логарифм, сохраняя знак неравенства: $$x^2 - x < 6$$.
• $$x^2 - x - 6 < 0$$.
• Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $$x^2 - x - 6 = 0$$:
• $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$.
• $$x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$$.
• $$x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$$.
• Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола направлена ветвями вверх. Неравенство $$x^2 - x - 6 < 0$$ выполняется при $$-2 < x < 3$$.
• Теперь учтем ОДЗ: $$x > 1$$.
• Пересечение интервалов: $$1 < x < 3$$.

г) log₂ (x² − x − 12) < 3.

• ОДЗ:
• $$x^2 - x - 12 > 0$$.
• Найдем корни уравнения $$x^2 - x - 12 = 0$$:
• $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$.
• $$x_1 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3$$.
• $$x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4$$.
• Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола направлена ветвями вверх. Неравенство $$x^2 - x - 12 > 0$$ выполняется при $$x < -3$$ или $$x > 4$$.
• Преобразуем неравенство: $$log_2 (x^2 - x - 12) < 3$$.
• Поскольку основание логарифма $$2 > 1$$, снимаем логарифм, сохраняя знак неравенства: $$x^2 - x - 12 < 2^3$$.
• $$x^2 - x - 12 < 8$$.
• $$x^2 - x - 20 < 0$$.
• Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $$x^2 - x - 20 = 0$$:
• $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$.
• $$x_1 = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = -4$$.
• $$x_2 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = 5$$.
• Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола направлена ветвями вверх. Неравенство $$x^2 - x - 20 < 0$$ выполняется при $$-4 < x < 5$$.
• Теперь учтем ОДЗ: ($$x < -3$$ или $$x > 4$$).
• Пересечение интервалов: $$(-4 < x < -3)$$ и $$(4 < x < 5)$$.

Финальный ответ:

• а) $$x \in (0; 0,5) \cup (1; 1,5)$$
• б) $$x \in (0; 1)$$
• в) $$x \in (1; 3)$$
• г) $$x \in (-4; -3) \cup (4; 5)$$