Решите неравенства: \(\sin x>-\frac12\); \(\sin x< -\frac12\); \(\cos x\le -\frac{\sqrt2}{2}\); \(\sin x<\frac12\); \(\cos x> -\frac{\sqrt2}{2}\).

Используем значения тригонометрических функций на единичной окружности и учитываем периодичность.

1. \(\sin x>-\frac12\).

   Граничные точки: \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\) и \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\). Поэтому

   \[x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\;\frac{7\pi}{6}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.\]

2. \(\sin x< -\frac12\).

   Граничные точки не входят в решение:

   \[x\in\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\;\frac{11\pi}{6}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.\]

3. \(\cos x\le -\frac{\sqrt2}{2}\).

   Граничные точки: \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\) и \(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k\). Так как неравенство нестрогое, точки включаются:

   \[x\in\left[\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\;\frac{5\pi}{4}+2\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z.\]

4. \(\sin x<\frac12\).

   Граничные точки: \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) и \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\). Получаем

   \[x\in\left(-\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\;\frac{\pi}{6}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\;\frac{13\pi}{6}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.\]

   Эквивалентная запись:

   \[x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\;\frac{13\pi}{6}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.\]

5. \(\cos x> -\frac{\sqrt2}{2}\).

   Граничные точки: \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\) и \(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k\). Исключая их, получаем

   \[x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\;\frac{3\pi}{4}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.\]

Ответ: \(\sin x>-\frac12\): \(x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\frac{7\pi}{6}+2\pi k\right)\); \(\sin x< -\frac12\): \(x\in\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\frac{11\pi}{6}+2\pi k\right)\); \(\cos x\le-\frac{\sqrt2}{2}\): \(x\in\left[\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\frac{5\pi}{4}+2\pi k\right]\); \(\sin x<\frac12\): \(x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\frac{\pi}{6}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\frac{7\pi}{6}+2\pi k\right)\); \(\cos x> -\frac{\sqrt2}{2}\): \(x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\frac{3\pi}{4}+2\pi k\right)\), где \(k\in\mathbb Z\).