Решите квадратные неравенства

a) $$-2x^2 + 3x + 9 < 0$$

Решение:

1. Решить уравнение $$-2x^2 + 3x + 9 = 0$$

   Найдем корни квадратного уравнения:

   $$x_1 = 3, \quad x_2 = -1.5$$

   Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный.

2. Построим схематически параболу. Парабола пересекает ось Ox в точках -1.5 и 3. Так как ветви направлены вниз, парабола имеет вид перевернутой чаши.

3. Выделим часть графика, расположенную под осью Ox. Это интервалы, где функция принимает отрицательные значения.

Ответ: $$(-\infty; -1.5) \cup (3; +\infty)$$.

б) $$4x^2 - 4x + 1 \le 0$$

Решение:

1. Решить уравнение $$4x^2 - 4x + 1 = 0$$

   Это квадратное уравнение имеет один корень:

   $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$$
   $$x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = 0.5$$

   Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный.

2. Парабола касается оси Ox в точке x = 0.5. Неравенство $$4x^2 - 4x + 1 \le 0$$ выполняется только в этой точке.

Ответ: $$x = 0.5$$

в) $$2x^2 - x + 4 > 0$$

Решение:

1. Решить уравнение $$2x^2 - x + 4 = 0$$

   Найдем дискриминант:

   $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 1 - 32 = -31$$

   Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.

   Парабола не пересекает ось Ox. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, и она расположена целиком выше оси Ox.

2. Следовательно, значения y положительны при всех значениях x. Неравенство $$2x^2 - x + 4 > 0$$ выполняется для всех x.

Ответ: $$(-\infty; +\infty)$$

г) $$-x^2 + 3x - 8 \ge 0$$

Решение:

1. Решить уравнение $$-x^2 + 3x - 8 = 0$$

   Найдем дискриминант:

   $$D = (3)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-8) = 9 - 32 = -23$$

   Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.

   Парабола не пересекает ось Ox. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, и она расположена целиком ниже оси Ox.

2. Следовательно, значения y отрицательны при всех значениях x. Неравенство $$-x^2 + 3x - 8 \ge 0$$ не выполняется ни для одного x.

Ответ: Решений нет.